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Campo magnético creado por corrientes

También trata: Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz
Comunidad de Madrid · 2020 · Julio (coincidentes)
Enunciado
Dos corrientes eléctricas rectilíneas indefinidas, I1I_1 e I2I_2, dirigidas según el eje zz cortan el plano xyxy por los puntos (0, 0) m(0,\,0)\,\text{m} y (8, 0) m(8,\,0)\,\text{m}, respectivamente. La corriente I1I_1 lleva sentido negativo y tiene un valor de 3 A3\,\text{A}, mientras que la corriente I2I_2 lleva sentido positivo y tiene un valor de 5 A5\,\text{A}. Calcule:

a) El campo magnético en el punto (0, 6) m(0,\,6)\,\text{m}.

b) La fuerza magnética que experimentará un electrón que pase por el punto (0, 6) m(0,\,6)\,\text{m} con una velocidad v⃗=3⋅104 i⃗ m s−1\vec v = 3\cdot 10^{4}\,\vec i\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e=1,6⋅10−19 Ce = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}; Permeabilidad magnética del vacío, μ0=4π⋅10−7 N A−2\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\,\text{N}\,\text{A}^{-2}.
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Resultado
  B⃗(0,6)=4⋅10−8 i⃗−8⋅10−8 j⃗  T  \boxed{\;\vec B(0,6) = 4\cdot 10^{-8}\,\vec i - 8\cdot 10^{-8}\,\vec j\ \ \text{T}\;}  F⃗=3,84⋅10−22 k⃗  N  \boxed{\;\vec F = 3{,}84\cdot 10^{-22}\,\vec k\ \ \text{N}\;}
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Estrategia

Cada hilo crea un campo de módulo B=μ0I2πdB = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}, con líneas circulares a su alrededor. La dirección se saca con la regla de la mano derecha o, más seguro, con el producto vectorialB⃗=μ0I2πd (u⃗I×u⃗r)\vec B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}\,\left(\vec u_I\times\vec u_r\right)donde u⃗I\vec u_I es el sentido de la corriente y u⃗r\vec u_r el unitario que va del hilo al punto. En a) se calculan los dos campos y se suman como vectores.

En b) se aplica la fuerza de Lorentz, F⃗=q v⃗×B⃗\vec F = q\,\vec v\times\vec B, con q=−eq = -e.
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Desarrollo

a) Sea P(0, 6)P(0,\,6).

Hilo 1, en el origen, con I1=3 AI_1 = 3\,\text{A} en el sentido −k⃗-\vec k. Está a d1=6 md_1 = 6\,\text{m} de PP y u⃗r1=j⃗\vec u_{r1} = \vec j:B1=μ0I12πd1=4π⋅10−7⋅32π⋅6=1,0⋅10−7 T(−k⃗)×j⃗=i⃗B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d_1} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 3}{2\pi\cdot 6} = 1{,}0\cdot 10^{-7}\ \text{T}\qquad (-\vec k)\times\vec j = \vec iB⃗1=1,0⋅10−7 i⃗  T\vec B_1 = 1{,}0\cdot 10^{-7}\,\vec i\ \ \text{T}Hilo 2, en (8, 0)(8,\,0), con I2=5 AI_2 = 5\,\text{A} en el sentido +k⃗+\vec k. Está a d2=82+62=10 md_2 = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\,\text{m} de PP, y el unitario del hilo al punto es u⃗r2=(−8 i⃗+6 j⃗)/10=−0,8 i⃗+0,6 j⃗\vec u_{r2} = (-8\,\vec i + 6\,\vec j)/10 = -0{,}8\,\vec i + 0{,}6\,\vec j:B2=4π⋅10−7⋅52π⋅10=1,0⋅10−7 Tk⃗×(−0,8 i⃗+0,6 j⃗)=−0,8 j⃗−0,6 i⃗B_2 = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 5}{2\pi\cdot 10} = 1{,}0\cdot 10^{-7}\ \text{T}\qquad \vec k\times\left(-0{,}8\,\vec i + 0{,}6\,\vec j\right) = -0{,}8\,\vec j - 0{,}6\,\vec iB⃗2=1,0⋅10−7(−0,6 i⃗−0,8 j⃗) T\vec B_2 = 1{,}0\cdot 10^{-7}\left(-0{,}6\,\vec i - 0{,}8\,\vec j\right)\ \text{T}Campo total en PP:B⃗=B⃗1+B⃗2=(0,4 i⃗−0,8 j⃗)⋅10−7 T=4⋅10−8 i⃗−8⋅10−8 j⃗  T\vec B = \vec B_1 + \vec B_2 = \left(0{,}4\,\vec i - 0{,}8\,\vec j\right)\cdot 10^{-7}\ \text{T} = 4\cdot 10^{-8}\,\vec i - 8\cdot 10^{-8}\,\vec j\ \ \text{T}Su módulo es ∣B⃗∣=0,42+0,82⋅10−7=8,9⋅10−8 T|\vec B| = \sqrt{0{,}4^2 + 0{,}8^2}\cdot 10^{-7} = 8{,}9\cdot 10^{-8}\,\text{T}.

b) Fuerza de Lorentz sobre el electrón (q=−1,6⋅10−19 Cq = -1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}):v⃗×B⃗=∣i⃗j⃗k⃗3⋅104004⋅10−8−8⋅10−80∣=3⋅104⋅(−8⋅10−8)k⃗=−2,4⋅10−3 k⃗  T m s−1\vec v\times\vec B = \begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 3\cdot 10^{4} & 0 & 0\\ 4\cdot 10^{-8} & -8\cdot 10^{-8} & 0\end{vmatrix} = 3\cdot 10^{4}\cdot\left(-8\cdot 10^{-8}\right)\vec k = -2{,}4\cdot 10^{-3}\,\vec k\ \ \text{T}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}F⃗=q v⃗×B⃗=(−1,6⋅10−19)(−2,4⋅10−3 k⃗)=3,84⋅10−22 k⃗  N\vec F = q\,\vec v\times\vec B = \left(-1{,}6\cdot 10^{-19}\right)\left(-2{,}4\cdot 10^{-3}\,\vec k\right) = 3{,}84\cdot 10^{-22}\,\vec k\ \ \text{N}La fuerza es perpendicular a la velocidad y al campo, en el sentido +z+z. La componente xx del campo no contribuye: es paralela a la velocidad.
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Consejo

Para la dirección del campo de un hilo, el producto u⃗I×u⃗r\vec u_I\times\vec u_r no falla: el sentido de la corriente por el unitario que va del hilo al punto. Comprueba después con la mano derecha.

En la fuerza de Lorentz sobre un electrón no olvides el signo negativo de la carga: invierte el sentido de v⃗×B⃗\vec v\times\vec B.
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