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Campo y potencial gravitatorio

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio (coincidentes)

Enunciado

En un capítulo de la serie de ficción Stargate, los protagonistas llegan a un planeta desconocido. La información recabada por nuestros protagonistas antes de su llegada les ha permitido deducir que la masa de este planeta es la misma que la de la Tierra. Sin embargo, no han podido calcular su radio. Para ello, el físico del equipo de investigación, con la ayuda de un péndulo simple, establece que la relación entre la gravedad en la superficie de la Tierra,

g_T

, y la del planeta,

g_P

, es

g_P = 2g_T

. Calcule:

a) El radio de dicho planeta.

b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta.

Datos: Constante de Gravitación Universal,

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

; Radio de la Tierra,

R_T = 6370\,\text{km}

; Masa de la Tierra,

M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\,\text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;R_P = \frac{R_T}{\sqrt 2} = 4{,}50\cdot 10^{6}\ \text{m}\;}

\boxed{\;v_e = 1{,}33\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La gravedad en la superficie de un planeta es

g = \dfrac{GM}{R^2}

. En a) las dos masas son iguales, así que al dividir las dos expresiones solo quedan los radios: si la gravedad es el doble, el radio es

\sqrt 2

veces menor. No hace falta calcular ninguna

g

.

En b) la velocidad de escape es la que permite llegar al infinito con velocidad nula: energía mecánica cero en la superficie,

\tfrac12 mv_e^2 - \dfrac{GMm}{R} = 0

Desarrollo

a) Gravedad en la superficie de cada planeta, con

M_P = M_T

g_T = \frac{GM_T}{R_T^2}\qquad g_P = \frac{GM_T}{R_P^2}

Dividiendo y usando

g_P = 2g_T

\frac{g_P}{g_T} = \frac{R_T^2}{R_P^2} = 2\quad\Longrightarrow\quad R_P = \frac{R_T}{\sqrt 2} = \frac{6370}{\sqrt 2} = 4504\ \text{km} = 4{,}50\cdot 10^{6}\ \text{m}

b) Para escapar, la energía mecánica en la superficie debe ser al menos cero:

\frac{1}{2}mv_e^2 - \frac{GM_Pm}{R_P} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2GM_P}{R_P}}

v_e = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{4{,}504\cdot 10^{6}}} = 1{,}33\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Unos

13{,}3\,\text{km}\,\text{s}^{-1}

: más que en la Tierra (

11{,}2\,\text{km}\,\text{s}^{-1}

), porque con la misma masa y menos radio el planeta es más compacto. De hecho

v_e \propto 1/\sqrt R

, así que es

\sqrt[4]{2} \approx 1{,}19

veces la terrestre.

Consejo

Cuando un problema compara dos planetas, divide las dos fórmulas antes de sustituir: $G$ y las magnitudes iguales se van y el resultado sale casi sin cuentas.

La velocidad de escape no depende de la masa del objeto que escapa: se cancela la $m$ .