FísicaMedioProblema · 2 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio

Enunciado

Una placa de vidrio de

4\,\text{cm}

de espesor y de índice de refracción

1{,}5

se encuentra sumergida entre dos aceites de índices de refracción

1{,}4

1{,}2

respectivamente. Proveniente del aceite de índice

1{,}4

incide sobre el vidrio un haz de luz con un ángulo de incidencia de

30^\circ

. Calcule:

Placa de vidrio de índice n2 = 1,5 y 4 cm de espesor entre un aceite superior de índice n1 = 1,4 y otro inferior de índice n3 = 1,2. Un rayo llega desde arriba formando 30° con la normal; en la cara superior una parte se refleja y otra se refracta, baja por el vidrio, se refleja en la cara inferior, vuelve a subir y sale al aceite superior paralela al rayo reflejado. d es la distancia perpendicular entre esos dos rayos paralelos

a) La distancia,

d

, entre el rayo reflejado por la cara superior del vidrio y el refractado después de reflejarse en la cara inferior del vidrio.

b) El ángulo de incidencia mínimo en la cara superior del vidrio necesario para que se produzca el fenómeno de reflexión total en la cara inferior de la placa de vidrio.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;d = 3{,}66\ \text{cm}\qquad (\theta_2 = 27{,}8^\circ;\ \text{separación sobre la cara superior}\ 4{,}22\ \text{cm})\;}

\boxed{\;\theta_{1,\text{mín}} = 59{,}0^\circ\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En la cara superior el haz se divide: una parte se refleja (a

30^\circ

) y otra entra en el vidrio, se refleja en la cara inferior, vuelve a subir y sale de nuevo al primer aceite. Por simetría sale también a

30^\circ

, así que los dos rayos son paralelos;

d

, según la figura, es la distancia perpendicular entre ellos.

Plan para a): con la ley de Snell sacamos el ángulo dentro del vidrio; con la trigonometría del triángulo que forma el rayo al bajar y subir, la separación entre los dos puntos de la cara superior; y de ahí, proyectando, la distancia perpendicular

d

.

Para b), la reflexión total en la cara inferior exige que el rayo llegue a ella con un ángulo igual o mayor que el ángulo límite vidrio-aceite inferior. Como las caras son paralelas, ese ángulo es el mismo que el de refracción en la cara superior, y la ley de Snell lo enlaza con el de incidencia.

Desarrollo

a) Ley de Snell en la cara superior (aceite

n_1 = 1{,}4

→ vidrio

n_2 = 1{,}5

n_1\,\text{sen}\,\theta_1 = n_2\,\text{sen}\,\theta_2\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\theta_2 = \frac{1{,}4\cdot\text{sen}\,30^\circ}{1{,}5} = \frac{0{,}7}{1{,}5} = 0{,}467\quad\Longrightarrow\quad \theta_2 = 27{,}8^\circ

Dentro del vidrio, el rayo baja los

e = 4\,\text{cm}

de espesor avanzando en horizontal

e\tan\theta_2

, y al reflejarse sube avanzando otro tanto. La separación entre el punto de entrada y el de salida en la cara superior es:

x = 2\,e\,\tan\theta_2 = 2\cdot 4\cdot\tan 27{,}8^\circ = 8\cdot 0{,}528 = 4{,}22\ \text{cm}

Al volver a salir al aceite de índice

1{,}4

, por la ley de Snell el rayo recupera el ángulo de

30^\circ

con la normal: es paralelo al rayo reflejado. Los dos rayos parten de dos puntos de la superficie separados

x

y forman

30^\circ

con la normal, así que la distancia perpendicular entre ellos es la proyección de

x

d = x\cos 30^\circ = 4{,}22\cdot 0{,}866 = 3{,}66\ \text{cm}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Ángulo límite en la cara inferior (vidrio

n_2 = 1{,}5

→ aceite

n_3 = 1{,}2

; hay reflexión total porque se pasa a un medio de menor índice):

n_2\,\text{sen}\,\theta_L = n_3\,\text{sen}\,90^\circ\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\theta_L = \frac{1{,}2}{1{,}5} = 0{,}8\quad\Longrightarrow\quad \theta_L = 53{,}1^\circ

Como las caras de la placa son paralelas, el ángulo con el que el rayo llega a la cara inferior es el de refracción en la superior,

\theta_2

. Para que haya reflexión total,

\theta_2 \geq \theta_L

, es decir,

n_2\,\text{sen}\,\theta_2 \geq n_3

. Con la ley de Snell en la cara superior,

n_2\,\text{sen}\,\theta_2 = n_1\,\text{sen}\,\theta_1

n_1\,\text{sen}\,\theta_{1,\text{mín}} = n_3\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\theta_{1,\text{mín}} = \frac{1{,}2}{1{,}4} = 0{,}857\quad\Longrightarrow\quad \theta_{1,\text{mín}} = 59{,}0^\circ

El vidrio no interviene en el resultado: el producto

n\,\text{sen}\,\theta

se conserva al atravesar caras paralelas. Es posible porque

1{,}2/1{,}4 < 1

; si el aceite inferior tuviera un índice mayor que el superior, no habría reflexión total en ningún caso.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee bien qué distancia piden: la figura marca $d$ perpendicular a los dos rayos paralelos, no la separación de los puntos sobre el vidrio. Son $4{,}22\,\text{cm}$ frente a $3{,}66\,\text{cm}$ .

En b) no te lances a calcular el ángulo límite en la cara de arriba: la reflexión total se busca en la de abajo. Encadena Snell en las dos caras y verás que el vidrio se cancela.