FísicaFácilProblema · 2 pts

Campo y potencial gravitatorio

También trata: Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio

Enunciado

Se tiene un planeta de masa

1{,}95\cdot 10^{25}\,\text{kg}

y radio

5500\,\text{km}

. Determine:

a) El módulo de la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta.

b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta.

Dato: Constante de Gravitación Universal,

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;g_0 = 43{,}0\ \text{m}\,\text{s}^{-2}\;}

\boxed{\;v_e = 2{,}17\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1} \approx 21{,}7\ \text{km}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La gravedad en la superficie es la intensidad del campo gravitatorio del planeta a una distancia igual a su radio:

g_0 = GM/R^2

.

La velocidad de escape es la mínima con la que hay que lanzar un cuerpo para que se aleje indefinidamente. Sale de la conservación de la energía: la energía cinética del lanzamiento tiene que compensar justo la energía potencial (negativa) de la superficie, de modo que el cuerpo llegue al infinito con energía total cero.

Desarrollo

a) Pasamos el radio a metros:

R = 5500\,\text{km} = 5{,}5\cdot 10^{6}\,\text{m}

. El producto

GM

nos servirá en los dos apartados:

G\,M = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}95\cdot 10^{25} = 1{,}30\cdot 10^{15}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-1}

La gravedad en la superficie:

g_0 = \frac{G\,M}{R^2} = \frac{1{,}30\cdot 10^{15}}{\left(5{,}5\cdot 10^{6}\right)^2} = 43{,}0\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

Unas cuatro veces y media la de la Tierra: el planeta tiene más de tres veces su masa y un radio algo menor.

b) Conservación de la energía mecánica entre la superficie y el infinito, donde el cuerpo llega con velocidad nula y energía potencial nula:

\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - \frac{G\,M\,m}{R} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}

v_e = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}30\cdot 10^{15}}{5{,}5\cdot 10^{6}}} = \sqrt{4{,}73\cdot 10^{8}} = 2{,}17\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

También se puede escribir como

v_e = \sqrt{2\,g_0 R}

, aprovechando el apartado anterior:

\sqrt{2\cdot 43{,}0\cdot 5{,}5\cdot 10^{6}} = 2{,}17\cdot 10^{4}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error más frecuente es dejar el radio en kilómetros: $R^2$ sale un millón de veces menor y la gravedad, absurda. Mira siempre si el resultado tiene sentido comparándolo con la Tierra.

Si no recuerdas la fórmula de la velocidad de escape, dedúcela: energía total cero en la superficie. Son dos líneas y en la corrección cuentan como planteamiento.