FísicaMedioProblema · 2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio
Enunciado
Se tienen dos fuentes radiactivas cuya actividad a día de hoy es la misma. Se sabe que dentro de 1010 años la actividad de la primera fuente será el doble que la de la segunda. Determine:

a) La diferencia, λ2−λ1\lambda_2 - \lambda_1, que existe entre las constantes de desintegración de ambas fuentes.

b) La relación entre las actividades de dichas fuentes dentro de 2020 años.
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Resultado
  λ2−λ1=ln⁡210 an˜os−1=6,93⋅10−2 an˜os−1=2,20⋅10−9 s−1  \boxed{\;\lambda_2 - \lambda_1 = \frac{\ln 2}{10}\ \text{años}^{-1} = 6{,}93\cdot 10^{-2}\ \text{años}^{-1} = 2{,}20\cdot 10^{-9}\ \text{s}^{-1}\;}  A1A2∣t=20 an˜os=4  \boxed{\;\frac{A_1}{A_2}\bigg|_{t = 20\ \text{años}} = 4\;}
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Estrategia

La actividad de una muestra decae con la misma ley exponencial que el número de núcleos: A(t)=A0 e−λtA(t) = A_0\,e^{-\lambda t}. Si las dos fuentes empiezan con la misma actividad, al dividir una entre otra la A0A_0 se va y queda una sola exponencial con la diferencia de las constantes. Por eso el problema pregunta por λ2−λ1\lambda_2 - \lambda_1 y no por cada una.

Que dentro de 10 años la primera tenga más actividad significa que la segunda decae más deprisa: esperamos λ2>λ1\lambda_2 > \lambda_1. Para b) basta con usar el mismo cociente con t=20t = 20 años.
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Desarrollo

a) Las dos fuentes tienen hoy la misma actividad A0A_0:A1(t)=A0 e−λ1tA2(t)=A0 e−λ2tA_1(t) = A_0\,e^{-\lambda_1 t}\qquad\qquad A_2(t) = A_0\,e^{-\lambda_2 t}Dividimos una entre otra:A1(t)A2(t)=e−λ1te−λ2t=e(λ2−λ1) t\frac{A_1(t)}{A_2(t)} = \frac{e^{-\lambda_1 t}}{e^{-\lambda_2 t}} = e^{(\lambda_2 - \lambda_1)\,t}Dentro de t=10t = 10 años el cociente vale 22:e(λ2−λ1)⋅10=2⟹λ2−λ1=ln⁡210 an˜os=6,93⋅10−2 an˜os−1e^{(\lambda_2 - \lambda_1)\cdot 10} = 2\quad\Longrightarrow\quad \lambda_2 - \lambda_1 = \frac{\ln 2}{10\ \text{años}} = 6{,}93\cdot 10^{-2}\ \text{años}^{-1}En el SI (1 an˜o=365⋅24⋅3600 s=3,15⋅107 s1\ \text{año} = 365\cdot 24\cdot 3600\ \text{s} = 3{,}15\cdot 10^{7}\ \text{s}):λ2−λ1=6,93⋅10−23,15⋅107 s=2,20⋅10−9 s−1\lambda_2 - \lambda_1 = \frac{6{,}93\cdot 10^{-2}}{3{,}15\cdot 10^{7}\ \text{s}} = 2{,}20\cdot 10^{-9}\ \text{s}^{-1}Sale positiva, como esperábamos: la segunda fuente se desintegra más deprisa.

b) Con t=20t = 20 años en el mismo cociente:A1(20)A2(20)=e(λ2−λ1)⋅20=eln⁡210⋅20=e2ln⁡2=22=4\frac{A_1(20)}{A_2(20)} = e^{(\lambda_2 - \lambda_1)\cdot 20} = e^{\frac{\ln 2}{10}\cdot 20} = e^{2\ln 2} = 2^2 = 4Cada 10 años el cociente se multiplica por 2: a los 20 años, la actividad de la primera fuente es cuatro veces la de la segunda.
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Consejo

Cuando un problema da cocientes (el doble, la mitad) y no valores, divide las dos leyes exponenciales: lo que no conoces, como A0A_0, se cancela.

El apartado b) se puede razonar sin cuentas: el cociente es una exponencial del tiempo, así que si en 10 años se duplica, en otros 10 se vuelve a duplicar. Doble por doble, cuatro.
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