Una onda armónica unidimensional, que se propaga en un medio con una velocidad de 400\,\text{m}\,\text{s}^{-1}, está descrita por la siguiente expresión matemática: y(x,t) = 3\,\text{sen}\left(kx - 200\pi t + \phi_0\right)\ \text{cm} donde x y t están en m y s, respectivamente. Sabiendo que y(0,0) = 1{,}5\,\text{cm} y que la velocidad de oscilación en t = 0 y x = 0 es positiva, halle: a) El número de onda k y la fase inicial \phi_0. b) La aceleración máxima de oscilación de un punto genérico del eje x.

FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio

Enunciado

Una onda armónica unidimensional, que se propaga en un medio con una velocidad de

400\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

, está descrita por la siguiente expresión matemática:

y(x,t) = 3\,\text{sen}\left(kx - 200\pi t + \phi_0\right)\ \text{cm}

donde

x

t

están en m y s, respectivamente. Sabiendo que

y(0,0) = 1{,}5\,\text{cm}

y que la velocidad de oscilación en

t = 0

x = 0

es positiva, halle:

a) El número de onda

k

y la fase inicial

\phi_0

.

b) La aceleración máxima de oscilación de un punto genérico del eje

x

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Resultado

\boxed{\;k = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \approx 1{,}57\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}\qquad \phi_0 = \frac{5\pi}{6}\ \text{rad}\;}

\boxed{\;a_{\text{máx}} = 1200\pi^2 \approx 1{,}18\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

De la ecuación se lee directamente la frecuencia angular,

\omega = 200\pi\ \text{rad/s}

. Con la velocidad de propagación, el número de onda sale de

v = \omega/k

.

La fase inicial necesita dos condiciones: el desplazamiento en el origen da el seno de

\phi_0

, pero hay dos ángulos con el mismo seno. El signo de la velocidad de oscilación (la derivada respecto del tiempo) decide cuál de los dos es.

Para b), cada punto del medio hace un movimiento armónico simple de amplitud

A

y frecuencia angular

\omega

; su aceleración máxima es

A\omega^2

Desarrollo

a) Comparando con

y = A\,\text{sen}(kx - \omega t + \phi_0)

, la frecuencia angular es

\omega = 200\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}

. El número de onda:

v = \frac{\omega}{k}\quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\omega}{v} = \frac{200\pi}{400} = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \approx 1{,}57\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}

Primera condición, el desplazamiento en el origen en

t = 0

y(0,0) = 3\,\text{sen}\,\phi_0 = 1{,}5\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\phi_0 = \frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad \phi_0 = \frac{\pi}{6}\ \ \text{o}\ \ \phi_0 = \frac{5\pi}{6}

Para elegir, derivamos respecto del tiempo para obtener la velocidad de oscilación:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -3\cdot 200\pi\,\cos\left(kx - 200\pi t + \phi_0\right)\ \text{cm}\,\text{s}^{-1}

x = 0

t = 0

v_y(0,0) = -600\pi\cos\phi_0 > 0\quad\Longrightarrow\quad \cos\phi_0 < 0

De los dos candidatos, solo

5\pi/6

tiene coseno negativo (

\cos(5\pi/6) = -\sqrt{3}/2

\phi_0 = \frac{5\pi}{6}\ \text{rad}

La onda queda:

y(x,t) = 3\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\,x - 200\pi t + \frac{5\pi}{6}\right)\ \text{cm}

Es la misma que

y = 3\,\text{sen}\left(200\pi t - \frac{\pi}{2}\,x + \frac{\pi}{6}\right)\ \text{cm}

(cambiar el signo del argumento equivale a sumar

\pi

), que viaja hacia

+x

con

T = 0{,}01\,\text{s}

\lambda = 4\,\text{m}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Cada punto del eje oscila con un MAS de amplitud

A = 3\,\text{cm} = 0{,}03\,\text{m}

y frecuencia angular

\omega = 200\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}

. Derivando otra vez:

a_y = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -A\,\omega^2\,\text{sen}\left(kx - \omega t + \phi_0\right)

Su valor máximo es cuando el seno vale

\pm 1

(el punto está en un extremo):

a_{\text{máx}} = A\,\omega^2 = 0{,}03\cdot\left(200\pi\right)^2 = 1200\pi^2 \approx 1{,}18\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

Consejo

La trampa de la fase inicial: $\text{sen}\,\phi_0 = 1/2$ tiene dos soluciones en una vuelta, $\pi/6$ y $5\pi/6$ . La calculadora solo te da la primera; la segunda condición (el signo de la velocidad) es la que decide, y aquí gana la que la calculadora no muestra.

Ojo al derivar: en esta onda $t$ va con signo menos dentro del seno, así que la derivada saca un $-\omega$ delante. Y pasa la amplitud a metros antes de calcular $A\omega^2$ .