FísicaMedioProblema · 2 pts

Inducción electromagnética

Comunidad de Madrid · 2020 · Septiembre
Enunciado
Una espira circular de radio 6 cm6\,\text{cm}, inicialmente situada en el plano xyxy, está inmersa en el seno de un campo magnético homogéneo dirigido hacia el sentido positivo del eje zz. Calcule, para el instante t=7 mst = 7\,\text{ms}, el flujo del campo magnético en la espira y la fuerza electromotriz inducida en los siguientes casos:

a) El módulo del campo magnético varía de la forma B=3t2B = 3t^2 (BB expresado en teslas y tt en segundos).

b) El módulo del campo magnético es constante e igual a B=8 mTB = 8\,\text{mT}, y la espira gira con una velocidad angular de 60 rad s−160\,\text{rad}\,\text{s}^{-1}, alrededor del eje yy.
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Resultado
  a) Φ=1,66⋅10−6 Wbε=−4,75⋅10−4 V  \boxed{\;\text{a) } \Phi = 1{,}66\cdot 10^{-6}\ \text{Wb}\qquad \varepsilon = -4{,}75\cdot 10^{-4}\ \text{V}\;}  b) Φ=8,26⋅10−5 Wbε=2,21⋅10−3 V  \boxed{\;\text{b) } \Phi = 8{,}26\cdot 10^{-5}\ \text{Wb}\qquad \varepsilon = 2{,}21\cdot 10^{-3}\ \text{V}\;}
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Estrategia

El flujo es Φ=B Scos⁡θ\Phi = B\,S\cos\theta, con θ\theta el ángulo entre B⃗\vec B y el vector superficie (perpendicular a la espira). Al principio la espira está en el plano xyxy, así que su vector superficie va según zz, paralelo al campo: θ=0\theta = 0.

Hay dos maneras de hacer variar el flujo, una en cada apartado. En a) la espira está quieta y lo que crece es el campo; en b) el campo es fijo y lo que cambia es el ángulo, θ=ωt\theta = \omega t, porque la espira gira (es un alternador). En los dos casos la f.e.m. es, por la ley de Faraday, menos la derivada del flujo.
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Desarrollo

Superficie de la espira:S=πr2=π⋅0,062=1,13⋅10−2 m2S = \pi r^2 = \pi\cdot 0{,}06^2 = 1{,}13\cdot 10^{-2}\ \text{m}^2a) La espira no se mueve (θ=0\theta = 0), así que el flujo es Φ(t)=B(t) S=3t2S\Phi(t) = B(t)\,S = 3t^2 S. En t=7⋅10−3 st = 7\cdot 10^{-3}\,\text{s}:B=3⋅(7⋅10−3)2=1,47⋅10−4 TΦ=1,47⋅10−4⋅1,131⋅10−2=1,66⋅10−6 WbB = 3\cdot\left(7\cdot 10^{-3}\right)^2 = 1{,}47\cdot 10^{-4}\ \text{T}\qquad \Phi = 1{,}47\cdot 10^{-4}\cdot 1{,}131\cdot 10^{-2} = 1{,}66\cdot 10^{-6}\ \text{Wb}Ley de Faraday:ε=−dΦdt=−6t S=−6⋅7⋅10−3⋅1,131⋅10−2=−4,75⋅10−4 V\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -6t\,S = -6\cdot 7\cdot 10^{-3}\cdot 1{,}131\cdot 10^{-2} = -4{,}75\cdot 10^{-4}\ \text{V}El signo menos expresa la ley de Lenz: el flujo hacia +z+z crece, y la corriente inducida circula en el sentido que crea un campo hacia −z-z (horario visto desde arriba, desde +z+z).
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b) Ahora B=8⋅10−3 TB = 8\cdot 10^{-3}\,\text{T} es fijo y la espira gira alrededor del eje yy: el ángulo entre su vector superficie y B⃗\vec B crece como θ=ωt\theta = \omega t (vale cero al principio):Φ(t)=B Scos⁡(ωt)ε(t)=−dΦdt=B S ωsin⁡(ωt)\Phi(t) = B\,S\cos(\omega t)\qquad \varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = B\,S\,\omega\sin(\omega t)En t=7⋅10−3 st = 7\cdot 10^{-3}\,\text{s} el ángulo girado es ωt=60⋅7⋅10−3=0,42 rad\omega t = 60\cdot 7\cdot 10^{-3} = 0{,}42\,\text{rad} (unos 24∘24^\circ):Φ=8⋅10−3⋅1,131⋅10−2⋅cos⁡(0,42)=8,26⋅10−5 Wb\Phi = 8\cdot 10^{-3}\cdot 1{,}131\cdot 10^{-2}\cdot\cos(0{,}42) = 8{,}26\cdot 10^{-5}\ \text{Wb}ε=8⋅10−3⋅1,131⋅10−2⋅60⋅sin⁡(0,42)=2,21⋅10−3 V\varepsilon = 8\cdot 10^{-3}\cdot 1{,}131\cdot 10^{-2}\cdot 60\cdot\sin(0{,}42) = 2{,}21\cdot 10^{-3}\ \text{V}(La f.e.m. máxima de este alternador sería BSω=5,43⋅10−3 VB S\omega = 5{,}43\cdot 10^{-3}\,\text{V}.)
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Consejo

Pon la calculadora en radianes para cos⁡(ωt)\cos(\omega t) y sin⁡(ωt)\sin(\omega t): ωt=0,42\omega t = 0{,}42 es un ángulo en radianes. En grados saldría cos⁡(0,42∘)≈1\cos(0{,}42^\circ) \approx 1 y la f.e.m. casi nula.

En a) se deriva B(t)B(t) antes de sustituir el tiempo: sustituir primero y derivar un número da cero. Y no olvides pasar 7 ms7\,\text{ms} y 8 mT8\,\text{mT} al SI.
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