Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Velocidad de propagación:$$v = \lambda\,f = 1{,}5\cdot 1000 = 1500\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$La frecuencia angular es $\omega = 2\pi f = 2000\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$. La velocidad de oscilación de un punto es máxima cuando pasa por el equilibrio y vale $A\omega$:$$v_{\text{máx}} = A\,\omega\quad\Longrightarrow\quad A = \frac{v_{\text{máx}}}{\omega} = \frac{100}{2000\pi} = 1{,}59\cdot 10^{-2}\ \text{m}$$b) Número de onda: $k = 2\pi/\lambda = 4\pi/3\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}$. Escribimos la onda (hacia $+x$) y la velocidad de oscilación:$$y(x,t) = A\sin(\omega t - kx + \varphi_0)\qquad v_y(x,t) = A\,\omega\cos(\omega t - kx + \varphi_0)$$En $x = 0$ y $t = 6\cdot 10^{-4}\,\text{s}$, la fase vale $\Phi = \omega t + \varphi_0$, con $\omega t = 2000\pi\cdot 6\cdot 10^{-4} = 1{,}2\pi\ \text{rad}$. La elongación nos da su seno:$$\sin\Phi = \frac{y}{A} = \frac{0{,}01}{1{,}592\cdot 10^{-2}} = 0{,}628$$Hay dos ángulos con ese seno: $0{,}679\,\text{rad}$ y $\pi - 0{,}679 = 2{,}46\,\text{rad}$. Como la velocidad es positiva, el coseno de la fase tiene que ser positivo, y eso solo lo cumple el primero: $\Phi = 0{,}679\,\text{rad}$. Despejamos la fase inicial:$$\varphi_0 = \Phi - \omega t = 0{,}679 - 1{,}2\pi = 0{,}679 - 3{,}770 = -3{,}09\ \text{rad}$$(o, sumando una vuelta, $\varphi_0 = 3{,}19\,\text{rad}$, que es la misma fase). Comprobación: $1{,}59\cdot 10^{-2}\sin(0{,}679) = 1{,}00\cdot 10^{-2}\,\text{m}$ y $100\cos(0{,}679) = 77{,}8\,\text{m/s} > 0$.

La expresión de la onda, en unidades del SI:$$y(x,t) = 1{,}59\cdot 10^{-2}\,\sin\!\left(2000\pi\,t - \frac{4\pi}{3}\,x - 3{,}09\right)\ \text{m}$$