FísicaMedioProblema · 2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2020 · Septiembre
Enunciado
Para obtener imágenes del corazón se utiliza el isótopo 201Tl^{201}\text{Tl} del talio, que emite rayos gamma tras su desintegración, con un período de semidesintegración de 3,043{,}04 días. Para una correcta visualización de los tejidos cardíacos se recomienda inyectar una dosis de 0,9 MBq kg−10{,}9\,\text{MBq}\,\text{kg}^{-1}.

a) Obtenga la constante de desintegración radiactiva del isótopo. Determine la cantidad de 201Tl^{201}\text{Tl}, expresada en gramos, recomendada para diagnosticar a un paciente de 75 kg75\,\text{kg}.

b) Calcule el tiempo necesario para que el nivel de actividad se reduzca a un 1 %1\,\% respecto a la actividad inicial.

Datos: Número de Avogadro, NA=6,02⋅1023 mol−1N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\,\text{mol}^{-1}; Masa atómica del 201Tl^{201}\text{Tl}, MA=201 uM_A = 201\,\text{u}.
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Resultado
  λ=2,64⋅10−6 s−1m=8,54⋅10−9 g  \boxed{\;\lambda = 2{,}64\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}\qquad m = 8{,}54\cdot 10^{-9}\ \text{g}\;}  t=1,75⋅106 s≈20,2 dıˊas  \boxed{\;t = 1{,}75\cdot 10^{6}\ \text{s} \approx 20{,}2\ \text{días}\;}
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Estrategia

La constante de desintegración sale directamente del periodo de semidesintegración, λ=ln⁡2/T1/2\lambda = \ln 2 / T_{1/2} (en s−1\text{s}^{-1}, porque la actividad va en becquerelios, desintegraciones por segundo).

La dosis está dada por kilo de paciente: multiplicando por 75 kg75\,\text{kg} tenemos la actividad que hay que inyectar. Como A=λNA = \lambda N, de ahí sale el número de núcleos, y con el número de Avogadro y la masa molar, los gramos.

En b) la actividad decae igual que el número de núcleos, A=A0 e−λtA = A_0\,e^{-\lambda t}: imponemos A=0,01 A0A = 0{,}01\,A_0 y despejamos el tiempo con un logaritmo.
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Desarrollo

a) Pasamos el periodo a segundos: T1/2=3,04⋅86 400=2,627⋅105 sT_{1/2} = 3{,}04\cdot 86\,400 = 2{,}627\cdot 10^{5}\,\text{s}. La constante de desintegración es:λ=ln⁡2T1/2=0,6932,627⋅105=2,64⋅10−6 s−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{2{,}627\cdot 10^{5}} = 2{,}64\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}Actividad recomendada para el paciente de 75 kg75\,\text{kg}:A=0,9⋅106 Bq kg−1⋅75 kg=6,75⋅107 BqA = 0{,}9\cdot 10^{6}\ \text{Bq}\,\text{kg}^{-1}\cdot 75\ \text{kg} = 6{,}75\cdot 10^{7}\ \text{Bq}Número de núcleos de talio que dan esa actividad:N=Aλ=6,75⋅1072,639⋅10−6=2,56⋅1013 nuˊcleosN = \frac{A}{\lambda} = \frac{6{,}75\cdot 10^{7}}{2{,}639\cdot 10^{-6}} = 2{,}56\cdot 10^{13}\ \text{núcleos}Cada mol tiene NAN_A núcleos y pesa 201 g201\,\text{g}:m=NNA⋅201=2,558⋅10136,02⋅1023⋅201=8,54⋅10−9 gm = \frac{N}{N_A}\cdot 201 = \frac{2{,}558\cdot 10^{13}}{6{,}02\cdot 10^{23}}\cdot 201 = 8{,}54\cdot 10^{-9}\ \text{g}Unos 8,58{,}5 nanogramos: una cantidad minúscula basta para una actividad de decenas de millones de becquerelios.

b) La actividad sigue la ley de desintegración:A=A0 e−λt⟹0,01=e−λt⟹t=ln⁡100λA = A_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad 0{,}01 = e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln 100}{\lambda}t=4,6052,639⋅10−6=1,75⋅106 s=20,2 dıˊast = \frac{4{,}605}{2{,}639\cdot 10^{-6}} = 1{,}75\cdot 10^{6}\ \text{s} = 20{,}2\ \text{días}Es decir, unas 6,66{,}6 semividas (log⁡2100=6,64\log_2 100 = 6{,}64).
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

Para usar A=λNA = \lambda N la constante tiene que ir en s−1\text{s}^{-1}, porque el becquerelio es una desintegración por segundo. Si dejas λ\lambda en días−1^{-1}, el número de núcleos sale 86 400 veces más pequeño.

«Reducirse a un 1 %» significa que queda el 1 % (A=0,01 A0A = 0{,}01\,A_0), no que se pierde el 1 %.
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