Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Pasamos los datos al SI:$$r = 2{,}2\cdot 10^{5}\ \text{km} = 2{,}2\cdot 10^{8}\ \text{m}\qquad\qquad T = 48\cdot 24\cdot 3600 = 4{,}147\cdot 10^{6}\ \text{s}$$La fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta ($m$ es la masa del satélite y $M$ la del planeta):$$\frac{G\,M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G\,M}{r}$$Con $v = 2\pi r/T$:$$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G\,M}{r}\quad\Longrightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3$$que es la tercera ley de Kepler. Despejamos la masa:$$M = \frac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2} = \frac{4\pi^2\cdot\left(2{,}2\cdot 10^{8}\right)^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot\left(4{,}147\cdot 10^{6}\right)^2} = 3{,}66\cdot 10^{23}\ \text{kg}$$La masa del satélite no interviene: se cancela. El resultado es unas 16 veces menor que la masa de la Tierra ($5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$), un valor razonable para un planeta pequeño. Como comprobación, la velocidad orbital es $v = 2\pi r/T = 333\ \text{m/s}$.