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Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Extremadura · 2020 · Junio

Enunciado

Diga si la siguiente frase es CIERTA o FALSA y razone la respuesta: «En un campo magnético penetra un electrón y como consecuencia de ello describe una trayectoria circular. Se puede concluir que la velocidad con la que el electrón penetró en el campo magnético era perpendicular a dicho campo». (Calificación, 2 puntos)

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Resultado

Cierta: en un campo magnético uniforme la trayectoria es circular solo si

\vec v \perp \vec B

; con una componente de

\vec v

paralela al campo sería una hélice, y con

\vec v \parallel \vec B

, una recta.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La fuerza de Lorentz

\vec F = q\,\vec v\times\vec B

solo actúa sobre la componente de la velocidad perpendicular al campo. Se descompone la velocidad en una parte paralela y otra perpendicular a

\vec B

y se ve qué trayectoria resulta en cada caso: solo si la componente paralela es nula la trayectoria es una circunferencia.

Desarrollo

CIERTA (en un campo magnético uniforme, que es el caso que se estudia).

Sobre el electrón (carga

q = -e

) actúa la fuerza de Lorentz:

\vec F = q\,\vec v\times\vec B \qquad\qquad F = |q|\,v\,B\,\text{sen}\,\theta

donde

\theta

es el ángulo entre

\vec v

\vec B

. Esta fuerza es siempre perpendicular a

\vec v

y a

\vec B

, así que no realiza trabajo: no cambia el módulo de la velocidad, solo su dirección.

Descomponemos la velocidad con la que entra el electrón:

\vec v = \vec v_{\parallel} + \vec v_{\perp}

La componente paralela a $\vec B$ no produce fuerza ( $\vec v_{\parallel}\times\vec B = \vec 0$ ), así que se mantiene constante: el electrón avanza uniformemente en la dirección del campo.
La componente perpendicular produce una fuerza de módulo constante $|q|\,v_\perp B$ , perpendicular a la velocidad, que actúa como fuerza centrípeta: en el plano perpendicular a $\vec B$ el electrón describe un movimiento circular uniforme de radio

r = \frac{m\,v_\perp}{|q|\,B}

Según el ángulo de entrada hay tres casos:

$\vec v \parallel \vec B$ ( $\theta = 0^\circ$ o $180^\circ$ ): no hay fuerza y la trayectoria es rectilínea.
$\vec v \perp \vec B$ ( $\theta = 90^\circ$ ): $v_\parallel = 0$ y la trayectoria es una circunferencia en un plano perpendicular al campo.
Ángulo intermedio: a la circunferencia se suma el avance uniforme a lo largo de $\vec B$ y la trayectoria es una hélice.

Como el electrón describe una circunferencia, no puede tener componente de la velocidad a lo largo del campo (si la tuviera, la trayectoria sería una hélice). Por tanto, su velocidad de entrada era perpendicular a

\vec B

y la afirmación es cierta.

Consejo

En las preguntas de «cierto o falso» de cargas en campos magnéticos, descompón siempre la velocidad en una parte paralela y otra perpendicular a $\vec B$ : la paralela no cambia nunca y la perpendicular gira. Con eso clasificas recta, circunferencia y hélice sin hacer cuentas.