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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Extremadura · 2020 · Junio

Enunciado

Indique 5 magnitudes características de una onda a partir de su expresión matemática. (Calificación, 2 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

y = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)

: amplitud

A

, pulsación

\omega

, número de onda

k

, periodo

T = 2\pi/\omega

, frecuencia

f = \omega/2\pi

, longitud de onda

\lambda = 2\pi/k

, velocidad

v = \omega/k

y fase inicial

\varphi_0

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Se escribe la ecuación de la onda armónica unidimensional y se identifica cada término: la amplitud multiplica al seno, la frecuencia angular acompaña a

t

y el número de onda acompaña a

x

. De esas dos últimas salen el periodo, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación. Para cada magnitud conviene dar su significado, su relación con las demás y su unidad en el SI.

Desarrollo

Una onda armónica que se propaga a lo largo del eje

X

se describe con

y(x,t) = A\,\text{sen}\left(\omega t - k x + \varphi_0\right)

donde

y

es la elongación (separación respecto del equilibrio) del punto del medio situado en

x

en el instante

t

. El signo

-kx

indica que la onda avanza en el sentido positivo del eje

X

; con

+kx

avanzaría hacia las

x

negativas.

De la expresión se leen directamente o se deducen estas magnitudes:

Amplitud $A$ : la elongación máxima de cada punto del medio, el coeficiente que multiplica al seno. Unidad: metro (m).
Frecuencia angular o pulsación $\omega$ : el coeficiente de $t$ . Indica lo rápido que cambia la fase con el tiempo. Unidad: rad/s.
Número de onda $k$ : el coeficiente de $x$ . Indica cuánto cambia la fase por unidad de longitud. Unidad: rad/m.
Periodo $T = 2\pi/\omega$ : el tiempo que tarda un punto en hacer una oscilación completa (periodicidad en el tiempo). Unidad: segundo (s).
Frecuencia $f = 1/T = \omega/2\pi$ : número de oscilaciones por segundo. Unidad: hercio ( $\text{Hz} = \text{s}^{-1}$ ).
Longitud de onda $\lambda = 2\pi/k$ : la distancia mínima entre dos puntos que vibran en fase (periodicidad en el espacio). Unidad: metro (m).
Velocidad de propagación $v = \lambda/T = \lambda f = \omega/k$ : la rapidez con que avanza la perturbación; en un periodo la onda avanza una longitud de onda. Unidad: m/s.
Fase inicial $\varphi_0$ : el valor de la fase en $x = 0$ y $t = 0$ ; fija el estado de vibración del origen al empezar a contar el tiempo. Unidad: rad.

Con cinco de ellas basta para responder, por ejemplo

A

T

f

\lambda

v

(indicando cómo se obtienen de

\omega

k

).

No hay que confundir la velocidad de propagación

v

, que es constante y depende del medio, con la velocidad de vibración de cada punto,

\partial y/\partial t = A\omega\cos(\omega t - kx + \varphi_0)

, que cambia con el tiempo y vale como máximo

A\omega

Consejo

No te quedes en la lista de nombres: el corrector espera, para cada magnitud, qué significa, cómo se saca de la ecuación ( $\omega$ con $t$ , $k$ con $x$ ) y su unidad en el SI.

Recuerda las dos relaciones clave, $T = 2\pi/\omega$ y $\lambda = 2\pi/k$ : de ellas sale todo lo demás.