FísicaFácil2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Extremadura · 2020 · Septiembre
Enunciado
Deduce la expresión de la velocidad de escape de un cuerpo que está a una altura hh por encima de la superficie terrestre, aplicando el principio de conservación de la energía mecánica. (Calificación, 2 puntos).
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Resultado
  ve=2GMTRT+h=2g0RT2RT+h  \boxed{\;v_e = \sqrt{\frac{2 G M_T}{R_T + h}} = \sqrt{\frac{2 g_0 R_T^2}{R_T + h}}\;}No depende de la masa del cuerpo y disminuye con la altura.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

La gravedad es una fuerza conservativa, así que la energía mecánica del cuerpo se conserva si no hay rozamiento. Escapar significa llegar al infinito, donde la energía potencial es nula; la velocidad mínima para conseguirlo es la que deja al cuerpo allí con velocidad cero, es decir, con energía mecánica total nula. Igualamos la energía mecánica a la altura hh con la del infinito y despejamos vv.
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Desarrollo

Sea un cuerpo de masa mm a una altura hh sobre la superficie de la Tierra (masa MTM_T, radio RTR_T). Su distancia al centro de la Tierra es r=RT+hr = R_T + h.

Energía mecánica a la altura hh. Si se lanza con velocidad vv, tiene energía cinética y energía potencial gravitatoria (con el origen de EpE_p en el infinito):Em,1=12mv2−GMTmRT+hE_{m,1} = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M_T m}{R_T + h}donde G=6,67⋅10−11 N m2/kg2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2 es la constante de gravitación universal; las masas van en kg, las distancias en m y las energías en J.

Energía mecánica en el infinito. Para escapar, el cuerpo debe llegar a r→∞r \to \infty, donde Ep=0E_p = 0. La velocidad de lanzamiento será mínima cuando llegue allí con velocidad nula, Ec=0E_c = 0:Em,2=0+0=0E_{m,2} = 0 + 0 = 0Conservación de la energía mecánica. Solo actúa la fuerza gravitatoria, que es conservativa, así que Em,1=Em,2E_{m,1} = E_{m,2}:12mve2−GMTmRT+h=0\frac{1}{2} m v_e^2 - \frac{G M_T m}{R_T + h} = 0Despejamos la velocidad (la masa mm se simplifica):ve=2GMTRT+hv_e = \sqrt{\frac{2 G M_T}{R_T + h}}Como en la superficie g0=GMT/RT2g_0 = G M_T / R_T^2, se puede escribir también en función de la gravedad en la superficie:ve=2g0RT2RT+hv_e = \sqrt{\frac{2 g_0 R_T^2}{R_T + h}}Interpretación.
  • La velocidad de escape no depende de la masa del cuerpo que escapa, solo de la masa de la Tierra y de la distancia a su centro.
  • Disminuye al aumentar hh: cuanto más lejos está el cuerpo, menos ligado está a la Tierra (su energía potencial es menos negativa).
  • Con h=0h = 0 se obtiene la velocidad de escape desde la superficie, ve=2GMT/RT≈11,2 km/sv_e = \sqrt{2GM_T/R_T} \approx 11{,}2\ \text{km/s}.
  • Si el cuerpo tiene una velocidad mayor que vev_e, llega al infinito con energía cinética sobrante (Em>0E_m > 0); si es menor, Em<0E_m < 0, el cuerpo está ligado y acaba volviendo.
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Consejo

El punto de partida de la deducción es la condición de escape: llegar al infinito con Ec=0E_c = 0, o sea, energía mecánica total nula. Escríbelo con palabras: el corrector lo puntúa.

No olvides la distancia al centro de la Tierra, RT+hR_T + h, y no solo hh: es el error más frecuente cuando el cuerpo no está en la superficie.
Paso 1 de 3
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