Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $x$ se describe con:$$y(x, t) = A\ \text{sen}(\omega t - k x + \varphi_0)$$donde $A$ es la amplitud (m), $\omega = 2\pi/T$ la frecuencia angular ($\text{rad}\,\text{s}^{-1}$), $k = 2\pi/\lambda$ el número de onda ($\text{rad}\,\text{m}^{-1}$) y $\varphi_0$ la fase inicial (rad). La elongación depende de dos variables, la posición y el tiempo, y es periódica respecto de cada una.

Periodicidad en el tiempo. Si fijamos un punto $x$, la expresión es la de un MAS: ese punto vibra y repite su estado cada periodo $T$:$$y(x, t + T) = A\ \text{sen}(\omega t + \omega T - kx + \varphi_0) = A\ \text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0 + 2\pi) = y(x, t)$$porque $\omega T = 2\pi$. El periodo $T$ (en s) es el tiempo que tarda cada punto en completar una oscilación.

Periodicidad en el espacio. Si fijamos un instante $t$ (una «foto» de la onda), la forma de la onda es una sinusoide que se repite cada longitud de onda $\lambda$:$$y(x + \lambda, t) = A\ \text{sen}(\omega t - kx - k\lambda + \varphi_0) = A\ \text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0 - 2\pi) = y(x, t)$$porque $k\lambda = 2\pi$. La longitud de onda $\lambda$ (en m) es la distancia entre dos puntos que vibran en fase.

Las dos periodicidades están ligadas por la velocidad de propagación: en un periodo la onda avanza una longitud de onda,$$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{\omega}{k}$$Gráficamente: $y$ frente a $t$ en un punto fijo es una sinusoide de periodo $T$; $y$ frente a $x$ en un instante fijo es una sinusoide de periodo $\lambda$.