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Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Castilla y León · 2020 · Julio

Enunciado

Una partícula de masa

m

y carga

q

entra con velocidad

\vec v

en una zona donde existe un campo magnético uniforme

\vec B

(perpendicular a

\vec v

) y describe una trayectoria circular de radio

R

, como se ve en la figura. Deduzca la expresión de

R

en términos de

m

q

v

B

y determine razonadamente el signo de

q

Campo magnético uniforme representado por una cuadrícula de 4 por 4 símbolos ⊗ (campo perpendicular al papel, hacia dentro). Una trayectoria curva entra por la esquina inferior derecha moviéndose hacia arriba y se curva hacia la izquierda, terminando con una flecha en la parte superior izquierda.

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Resultado

\boxed{\;R = \frac{m\,v}{|q|\,B}\qquad q > 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La fuerza de Lorentz

\vec F = q\,\vec v\times\vec B

es siempre perpendicular a la velocidad: no cambia su módulo, solo su dirección, y actúa como fuerza centrípeta. Igualándola a

mv^2/R

se obtiene el radio. El signo de la carga sale de comparar el sentido de

\vec v\times\vec B

con el sentido en que se curva la trayectoria (hacia el centro de la circunferencia).

Desarrollo

Radio de la trayectoria. Como

\vec v\perp\vec B

, el módulo de la fuerza magnética es:

F = |q|\,v\,B\,\text{sen}\,90^\circ = |q|\,v\,B

Esta fuerza es perpendicular a

\vec v

en todo momento y de módulo constante, así que produce un movimiento circular uniforme: es la fuerza centrípeta.

|q|\,v\,B = \frac{m\,v^2}{R}\quad\Longrightarrow\quad R = \frac{m\,v}{|q|\,B}

Signo de la carga. Tomamos el plano del papel como plano

xy

(

x

hacia la derecha,

y

hacia arriba) y

z

saliendo del papel. En la figura:

El campo entra en el papel: $\vec B = -B\,\vec k$ .
La partícula entra moviéndose hacia arriba: $\vec v = v\,\vec j$ .
La trayectoria se curva hacia la izquierda, así que el centro de la circunferencia está a la izquierda: la fuerza en el punto de entrada apunta hacia $-\vec i$ .

Calculamos

\vec v\times\vec B

\vec v\times\vec B = v\,\vec j\times\left(-B\,\vec k\right) = -vB\,(\vec j\times\vec k) = -vB\,\vec i

Como

\vec F = q\,(\vec v\times\vec B) = -q\,vB\,\vec i

debe apuntar hacia

-\vec i

, tiene que ser

q > 0

. La carga es positiva. (Una carga negativa se curvaría hacia la derecha.)

Consejo

Para el signo, escribe los tres vectores con sus componentes y calcula $\vec v\times\vec B$ : si apunta hacia el centro de la curva, la carga es positiva; si apunta hacia fuera, es negativa.

Recuerda que $\otimes$ es un campo que entra en el papel y $\odot$ uno que sale.