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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla y León · 2020 · Julio
Enunciado
El nivel de intensidad sonora de una radio es 40 dB40\ \text{dB} a una distancia de 10 m10\ \text{m}. ¿Cuál es su nivel de intensidad sonora a 3 m3\ \text{m} de distancia si la radio emite uniformemente en todas las direcciones? Dato: Intensidad física umbral I0=10−12 W m−2I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}.
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Resultado
  β(3 m)=50,5 dB(I=1,11⋅10−7 W m−2)  \boxed{\;\beta(3\ \text{m}) = 50{,}5\ \text{dB}\qquad (I = 1{,}11\cdot 10^{-7}\ \text{W}\,\text{m}^{-2})\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Del nivel sonoro a 10 m10\ \text{m} se obtiene la intensidad allí. Como la radio emite por igual en todas direcciones, su potencia se reparte en esferas de área 4πr24\pi r^2: la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Con la intensidad a 3 m3\ \text{m} se calcula el nuevo nivel.
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Desarrollo

Intensidad a r1=10 mr_1 = 10\ \text{m}:β1=10log⁡I1I0⟹I1=I0⋅10β1/10=10−12⋅104=10−8 W m−2\beta_1 = 10\log\frac{I_1}{I_0}\quad\Longrightarrow\quad I_1 = I_0\cdot 10^{\beta_1/10} = 10^{-12}\cdot 10^{4} = 10^{-8}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}Con la potencia PP repartida uniformemente, I=P/(4πr2)I = P/(4\pi r^2), así que:I2I1=r12r22⟹I2=10−8⋅(103)2=1,11⋅10−7 W m−2\frac{I_2}{I_1} = \frac{r_1^2}{r_2^2}\quad\Longrightarrow\quad I_2 = 10^{-8}\cdot\left(\frac{10}{3}\right)^2 = 1{,}11\cdot 10^{-7}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}Nivel de intensidad sonora a r2=3 mr_2 = 3\ \text{m}:β2=10log⁡I2I0=10log⁡1,111⋅10−710−12=50,5 dB\beta_2 = 10\log\frac{I_2}{I_0} = 10\log\frac{1{,}111\cdot 10^{-7}}{10^{-12}} = 50{,}5\ \text{dB}Comprobación directa: β2=β1+20log⁡(r1/r2)=40+20log⁡(10/3)=50,5 dB\beta_2 = \beta_1 + 20\log(r_1/r_2) = 40 + 20\log(10/3) = 50{,}5\ \text{dB}. Acercarse a menos de un tercio de la distancia multiplica la intensidad por 11, pero el nivel solo sube unos 10 dB10\ \text{dB}, porque la escala es logarítmica.
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Consejo

Los decibelios no son proporcionales a la intensidad: no hagas reglas de tres con ellos. Pasa siempre a intensidades, aplica I∝1/r2I\propto 1/r^2 y vuelve a decibelios al final.
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