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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla y León · 2020 · Julio

Enunciado

Una onda armónica se desplaza por una cuerda y tiene la siguiente expresión en unidades del S.I.:

y(x, t) = 0{,}06\ \text{sen}\left(4\pi\, t - \frac{\pi}{6}\,x\right)

Para el instante

t = 0{,}25\ \text{s}

, determine la elongación, la velocidad y la aceleración de un punto de la cuerda que se encuentra a

1{,}5\ \text{m}

del extremo situado en el origen de coordenadas.

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Resultado

\boxed{\;y = 4{,}24\cdot 10^{-2}\ \text{m}\qquad v = -0{,}533\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad a = -6{,}70\ \text{m}\,\text{s}^{-2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada punto de la cuerda vibra con un movimiento armónico simple. La elongación se obtiene sustituyendo

x

t

en la ecuación; la velocidad y la aceleración de vibración son las derivadas primera y segunda de

y

respecto del tiempo (con

x

fijo). Basta con calcular una vez la fase en ese punto e instante.

Desarrollo

Fase en

x = 1{,}5\ \text{m}

t = 0{,}25\ \text{s}

\varphi = 4\pi\cdot 0{,}25 - \frac{\pi}{6}\cdot 1{,}5 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\ \text{rad}

Elongación:

y = 0{,}06\ \text{sen}\frac{3\pi}{4} = 0{,}06\cdot\frac{\sqrt 2}{2} = 4{,}24\cdot 10^{-2}\ \text{m}

Velocidad de vibración (derivada respecto de

t

v = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}06\cdot 4\pi\cos\left(4\pi t - \frac{\pi}{6}x\right)

v = 0{,}24\pi\cos\frac{3\pi}{4} = 0{,}754\cdot\left(-\frac{\sqrt 2}{2}\right) = -0{,}533\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Aceleración:

a = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -0{,}06\,(4\pi)^2\ \text{sen}\left(4\pi t - \frac{\pi}{6}x\right) = -(4\pi)^2\,y

a = -16\pi^2\cdot 4{,}243\cdot 10^{-2} = -6{,}70\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

El punto está por encima de su posición de equilibrio (

y > 0

) y bajando (

v < 0

); la aceleración apunta hacia el equilibrio, como en todo MAS.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La velocidad que se pide es la de vibración del punto ( $\partial y/\partial t$ ), no la de propagación de la onda ( $v = \lambda/T = 24\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$ ): son cosas distintas.

Pon la calculadora en radianes: la fase $3\pi/4$ no son grados.