FísicaMedio1 pts

Campo y potencial gravitatorio

Castilla y León · 2020 · Julio

Enunciado

Desde la superficie terrestre se lanza un objeto verticalmente hacia arriba. A una altura de

3630\ \text{km}

respecto a la superficie de la Tierra su velocidad es

2000\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

. Despreciando todo tipo de rozamiento, determine la velocidad con la que se lanzó.

Datos (de la tabla de constantes del examen):

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

;

R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}

;

M_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;v_0 = 7{,}03\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\approx 7{,}0\ \text{km}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Sin rozamiento, la única fuerza es la gravitatoria, que es conservativa: la energía mecánica del objeto se conserva. Como la altura es comparable al radio terrestre, no vale

E_p = mgh

: hay que usar

E_p = -GM_Tm/r

. Se igualan las energías en la superficie y a

3630\ \text{km}

de altura y se despeja

v_0

(la masa del objeto se simplifica).

Desarrollo

Distancias al centro de la Tierra:

r_0 = R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}\qquad r = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 3{,}63\cdot 10^{6} = 1{,}00\cdot 10^{7}\ \text{m}

Conservación de la energía mecánica entre la superficie y ese punto:

\frac{1}{2}m v_0^2 - \frac{G M_T m}{R_T} = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{G M_T m}{r}

Se simplifica

m

y se despeja

v_0

v_0 = \sqrt{v^2 + 2 G M_T\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{r}\right)}

Con

G M_T = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24} = 3{,}99\cdot 10^{14}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-1}

2 G M_T\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{r}\right) = 2\cdot 3{,}99\cdot 10^{14}\left(\frac{1}{6{,}37\cdot 10^{6}} - \frac{1}{1{,}00\cdot 10^{7}}\right) = 4{,}55\cdot 10^{7}\ \text{m}^2\,\text{s}^{-2}

v_0 = \sqrt{2000^2 + 4{,}55\cdot 10^{7}} = 7{,}03\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Es menor que la velocidad de escape (

11{,}2\ \text{km}\,\text{s}^{-1}

), como debe ser: el objeto sigue subiendo, pero acabará deteniéndose y volviendo.

Consejo

Si la altura no es pequeña frente a $R_T$ (aquí es más de la mitad), $mgh$ da un resultado falso: usa siempre $E_p = -GMm/r$ con $r$ medida desde el centro de la Tierra.

No olvides sumar el radio terrestre a la altura: el error más frecuente es poner $r = 3630\ \text{km}$ .