FísicaMedio1 pts

Campo y potencial gravitatorio

Castilla y León · 2020 · Septiembre

Enunciado

Habitualmente calculamos la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa

m

, situado a una altura

h

sobre la superficie de la Tierra, como

E_p = m\,g\,h

. Deduzca dicha expresión a partir de la expresión general de la energía potencial gravitatoria indicando las aproximaciones realizadas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

E_p = mgh

es la diferencia de energía potencial respecto a la superficie (origen en el suelo), válida solo si

h \ll R_T

, es decir, si

g

se puede considerar constante.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La expresión general,

E_p = -GMm/r

, toma el origen de energías en el infinito.

mgh

no es una energía potencial «absoluta», sino la diferencia de energía potencial entre la altura

h

y la superficie (que pasa a ser el origen). Se calcula esa diferencia, se aproxima suponiendo

h \ll R_T

y se identifica

g_0 = GM_T/R_T^2

Desarrollo

Expresión general. La energía potencial gravitatoria de una masa

m

a una distancia

r

del centro de la Tierra (masa

M_T

), con origen en el infinito, es

E_p(r) = -\frac{G\,M_T\,m}{r}

donde

G

es la constante de gravitación universal (

\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

), las masas van en kg,

r

en m y

E_p

en julios.

Diferencia entre la altura $h$ y la superficie. En la superficie

r = R_T

y a la altura

h

r = R_T + h

\Delta E_p = E_p(R_T + h) - E_p(R_T) = -\frac{G M_T m}{R_T + h} + \frac{G M_T m}{R_T} = G M_T m\,\frac{(R_T + h) - R_T}{R_T\,(R_T + h)} = \frac{G M_T m\,h}{R_T\,(R_T + h)}

Aproximación. Si la altura es muy pequeña comparada con el radio terrestre,

h \ll R_T

(6370 km), entonces

R_T + h \simeq R_T

\Delta E_p \simeq \frac{G M_T m\,h}{R_T^2} = m\left(\frac{G M_T}{R_T^2}\right)h

El paréntesis es la intensidad del campo gravitatorio en la superficie,

g_0 = G M_T/R_T^2 = 9{,}80\ \text{m/s}^2

. Por tanto:

\Delta E_p \simeq m\,g_0\,h

Aproximaciones realizadas:

Cambio de origen: se toma $E_p = 0$ en la superficie de la Tierra (y no en el infinito), de modo que $E_p = mgh$ es en realidad la diferencia de energía potencial respecto al suelo. Por eso es positiva, mientras que $-GMm/r$ es siempre negativa.
Alturas pequeñas: $h \ll R_T$ , lo que equivale a suponer que $g$ es constante e igual a $g_0$ en todo el recorrido (campo uniforme). Para $h = 64$ km, por ejemplo, el error ya es del 1 %.
Se considera la Tierra esférica y homogénea (o con simetría esférica), para poder tratarla como una masa puntual en su centro.

Consejo

Lo que más puntúa son las aproximaciones: di explícitamente que cambias el origen de energías al suelo y que usas $R_T + h \simeq R_T$ , y relaciónalo con que $g$ sea constante.

Si solo escribes « $h$ es pequeño», pierdes la idea del cambio de origen, que explica por qué una energía sale positiva y la otra negativa.