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Campo magnético creado por corrientes

Castilla y León · 2020 · Septiembre

Enunciado

Por dos conductores rectilíneos, de gran longitud y paralelos, distantes entre sí 40 cm, circulan corrientes de 10 y 20 A en sentidos contrarios. Determine la fuerza por unidad de longitud que ejercen entre sí y realice un diagrama para justificar la dirección y sentido de dicha fuerza.

Datos (de la tabla de constantes del examen):

\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{N}\,\text{A}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = 1{,}00\cdot 10^{-4}\ \text{N/m},\ \text{perpendicular a los hilos y repulsiva}\;}

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Estrategia

Cada hilo crea a su alrededor un campo magnético

B = \mu_0 I/2\pi d

, y ese campo ejerce sobre el otro hilo una fuerza

\vec F = I\,\vec L\times\vec B

. Combinando las dos expresiones sale la fuerza por unidad de longitud, igual para los dos hilos (acción y reacción). El sentido se razona con la regla de la mano derecha: con corrientes opuestas, los hilos se repelen.

Desarrollo

Campo que crea el hilo 1 (

I_1 = 10

A) en la posición del hilo 2, a

d = 0{,}40

B_1 = \frac{\mu_0\,I_1}{2\pi d}

Fuerza sobre un tramo

L

del hilo 2 (

I_2 = 20

A), perpendicular a

B_1

F = I_2\,L\,B_1\quad\Longrightarrow\quad \frac{F}{L} = \frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 10\cdot 20}{2\pi\cdot 0{,}40} = 1{,}00\cdot 10^{-4}\ \text{N/m}

Por la tercera ley de Newton, el hilo 2 ejerce sobre el 1 una fuerza igual y de sentido opuesto.

Diagrama. Dibujamos los hilos verticales en el plano del papel, separados 40 cm: el 1 a la izquierda con

I_1

hacia arriba y el 2 a la derecha con

I_2

hacia abajo.

Por la regla de la mano derecha, el campo $\vec B_1$ en el hilo 2 (a la derecha del 1) entra en el papel.
Fuerza sobre el hilo 2: $\vec F_{12} = I_2\,\vec L\times\vec B_1$ , con $\vec L$ hacia abajo ( $-\vec j$ ) y $\vec B_1$ entrante ( $-\vec k$ ): $(-\vec j)\times(-\vec k) = \vec i$ , hacia la derecha, alejándose del hilo 1.
Del mismo modo, $\vec B_2$ en el hilo 1 también entra en el papel y $\vec F_{21} = I_1\,\vec L\times\vec B_2 \propto \vec j\times(-\vec k) = -\vec i$ , hacia la izquierda.

Las fuerzas son perpendiculares a los hilos, en el plano que los contiene, y repulsivas: corrientes en sentidos contrarios se repelen (en el mismo sentido se atraerían).

Consejo

La fuerza por unidad de longitud es la misma sobre los dos hilos aunque las corrientes sean distintas: es una pareja de acción y reacción.

En el diagrama dibuja el campo de un hilo en el otro y aplica $I\,\vec L\times\vec B$ ; no basta con decir «se repelen» sin justificarlo.