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Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla y León · 2020 · Septiembre
Enunciado
Un exoplaneta se mueve en torno a una estrella en una órbita circular de 6,1⋅107 km6{,}1\cdot 10^{7}\ \text{km} de radio con un periodo de 112 días. Calcule la masa de la estrella sobre la que está orbitando.

Datos (de la tabla de constantes del examen): G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}.
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Resultado
  M=4π2r3G T2=1,43⋅1030 kg  \boxed{\;M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2} = 1{,}43\cdot 10^{30}\ \text{kg}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

En una órbita circular la fuerza gravitatoria que hace la estrella sobre el planeta es la fuerza centrípeta. Igualándolas y escribiendo la velocidad como v=2πr/Tv = 2\pi r/T se llega a la tercera ley de Kepler, de la que se despeja la masa de la estrella. Antes hay que pasar el radio a metros y el periodo a segundos.
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Desarrollo

Datos en el SI:r=6,1⋅107 km=6,1⋅1010 mT=112⋅86 400 s=9,68⋅106 sr = 6{,}1\cdot 10^{7}\ \text{km} = 6{,}1\cdot 10^{10}\ \text{m}\qquad T = 112\cdot 86\,400\ \text{s} = 9{,}68\cdot 10^{6}\ \text{s}La atracción gravitatoria proporciona la aceleración centrípeta del planeta (de masa mm):G M mr2=m v2rconv=2πrT\frac{G\,M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\qquad\text{con}\qquad v = \frac{2\pi r}{T}Sustituyendo vv y simplificando mm queda la tercera ley de Kepler:T2=4π2G M r3⟹M=4π2 r3G T2T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3\quad\Longrightarrow\quad M = \frac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2}M=4π2⋅(6,1⋅1010)36,67⋅10−11⋅(9,68⋅106)2=1,43⋅1030 kgM = \frac{4\pi^2\cdot\left(6{,}1\cdot 10^{10}\right)^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot\left(9{,}68\cdot 10^{6}\right)^2} = 1{,}43\cdot 10^{30}\ \text{kg}Es del orden de la masa del Sol (2⋅10302\cdot 10^{30} kg), un valor razonable para una estrella. La masa del planeta no interviene: se simplifica.
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Consejo

El error más caro aquí es no pasar las unidades: el radio está en kilómetros y el periodo en días. Con rr en km el resultado sale 10910^{9} veces más pequeño.

Deduce la tercera ley igualando fuerza gravitatoria y centrípeta: el corrector la puntúa.
Paso 1 de 3
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