FísicaMedioProblema · 3 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Castilla-La Mancha · 2020 · Junio
Enunciado
Dos ondas electromagnéticas de igual longitud de onda λ=600 nm\lambda = 600\,\text{nm} e igual amplitud E0=500 V/mE_0 = 500\,\text{V/m} se propagan en el vacío en la misma dirección y sentido, pero están desfasadas 90∘90^\circ entre sí. Calcular:

a) ¿Cuál es su frecuencia, su frecuencia angular, su periodo y su número de ondas?

b) Escribir la ecuación de onda resultante de su interferencia.

c) ¿Cuál es el desfase entre dos puntos separados por una distancia de 200 nm200\,\text{nm}?

Velocidad de la luz en el vacío c=3⋅108 m/sc = 3\cdot 10^8\,\text{m/s}; 1 nm=10−9 m1\,\text{nm} = 10^{-9}\,\text{m}. Ayuda: sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2\sin A + \sin B = 2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}
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Resultado
  f=5⋅1014 Hzω=3,14⋅1015 rad/sT=2⋅10−15 sk=1,05⋅107 rad/m  \boxed{\;f = 5\cdot 10^{14}\ \text{Hz}\qquad \omega = 3{,}14\cdot 10^{15}\ \text{rad/s}\qquad T = 2\cdot 10^{-15}\ \text{s}\qquad k = 1{,}05\cdot 10^{7}\ \text{rad/m}\;}  E=707sin⁡(3,14⋅1015t−1,05⋅107x+π4) V/mΔφ=2π3 rad  \boxed{\;E = 707\sin\left(3{,}14\cdot 10^{15}t - 1{,}05\cdot 10^{7}x + \frac{\pi}{4}\right)\ \text{V/m}\qquad \Delta\varphi = \frac{2\pi}{3}\ \text{rad}\;}
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Estrategia

En el vacío, f=c/λf = c/\lambda, ω=2πf\omega = 2\pi f, T=1/fT = 1/f y k=2π/λk = 2\pi/\lambda. Las dos ondas son E0sin⁡(ωt−kx)E_0\sin(\omega t - kx) y E0sin⁡(ωt−kx+π/2)E_0\sin(\omega t - kx + \pi/2); con la ayuda se suman en una sola onda armónica de amplitud 2E0cos⁡(π/4)2E_0\cos(\pi/4).
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Desarrollo

a)f=cλ=3⋅1086⋅10−7=5⋅1014 Hzω=2πf=π⋅1015=3,14⋅1015 rad/sf = \frac{c}{\lambda} = \frac{3\cdot 10^8}{6\cdot 10^{-7}} = 5\cdot 10^{14}\ \text{Hz} \qquad \omega = 2\pi f = \pi\cdot 10^{15} = 3{,}14\cdot 10^{15}\ \text{rad/s}T=1f=2⋅10−15 sk=2πλ=2π6⋅10−7=1,05⋅107 rad/mT = \frac1f = 2\cdot 10^{-15}\ \text{s} \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{6\cdot 10^{-7}} = 1{,}05\cdot 10^{7}\ \text{rad/m}b)E=E0[sin⁡(ωt−kx)+sin⁡(ωt−kx+π2)]=2E0cos⁡(π4)sin⁡(ωt−kx+π4)E = E_0\left[\sin(\omega t - kx) + \sin\left(\omega t - kx + \frac{\pi}{2}\right)\right] = 2E_0\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\omega t - kx + \frac{\pi}{4}\right)E(x,t)=707 sin⁡(3,14⋅1015 t−1,05⋅107 x+π4) V/mE(x,t) = 707\,\sin\left(3{,}14\cdot 10^{15}\,t - 1{,}05\cdot 10^{7}\,x + \frac{\pi}{4}\right)\ \text{V/m}La onda resultante tiene la misma frecuencia y longitud de onda, amplitud 2 E0=707 V/m\sqrt 2\,E_0 = 707\,\text{V/m} y una fase intermedia (45∘45^\circ).

c)Δφ=k Δx=2π600⋅200=2π3 rad=120∘\Delta\varphi = k\,\Delta x = \frac{2\pi}{600}\cdot 200 = \frac{2\pi}{3}\ \text{rad} = 120^\circ
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Consejo

Dos ondas iguales desfasadas 90∘90^\circ no se refuerzan del todo: la amplitud resultante es 2 E0\sqrt2\,E_0, no 2E02E_0. Solo en fase se duplica.
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