FísicaMedioProblema · 3 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla-La Mancha · 2020 · Septiembre
Enunciado
Consideramos una onda viajera transversal de amplitud 4 cm4\,\text{cm} y periodo 0,02 s0{,}02\,\text{s} que se propaga a 40 m/s40\,\text{m/s} en una cuerda tensa en la dirección y sentido positivo del eje XX. En el instante t=0t = 0 la elongación del punto x=0x = 0 es y=2 cmy = 2\,\text{cm}.

a) Calcular los parámetros de la onda y escribir su ecuación.

b) ¿Cuál es la velocidad vertical del punto x=0x = 0 en el instante t=0t = 0?

c) ¿Cuál es la diferencia de fase entre x=0x = 0 y x=0,20 mx = 0{,}20\,\text{m}?
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Resultado
  y=0,04 sen(100πt−2,5πx+π6) mvy(0,0)=10,9 m/sΔφ=π2 rad  \boxed{\;y = 0{,}04\,\text{sen}\left(100\pi t - 2{,}5\pi x + \frac{\pi}{6}\right)\ \text{m}\qquad v_y(0,0) = 10{,}9\ \text{m/s}\qquad \Delta\varphi = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}\;}
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Estrategia

Con TT y vv se obtienen ω=2π/T\omega = 2\pi/T, λ=vT\lambda = vT y k=2π/λk = 2\pi/\lambda. La onda hacia +X+X es y=A sen(ωt−kx+φ0)y = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0), y la fase inicial sale de y(0,0)=2 cmy(0,0) = 2\,\text{cm}. La velocidad vertical es ∂y/∂t\partial y/\partial t.
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Desarrollo

a)ω=2πT=100π rad/s(f=50 Hz)λ=vT=40⋅0,02=0,8 mk=2πλ=2,5π rad/m\omega = \frac{2\pi}{T} = 100\pi\ \text{rad/s}\quad (f = 50\ \text{Hz})\qquad \lambda = vT = 40\cdot 0{,}02 = 0{,}8\ \text{m}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = 2{,}5\pi\ \text{rad/m}Fase inicial: 0,04 sen φ0=0,02⇒sen φ0=0,50{,}04\,\text{sen}\,\varphi_0 = 0{,}02 \Rightarrow \text{sen}\,\varphi_0 = 0{,}5, que admite φ0=π/6\varphi_0 = \pi/6 o 5π/65\pi/6. El enunciado no da más datos; tomando φ0=π/6\varphi_0 = \pi/6:y(x,t)=0,04 sen(100πt−2,5πx+π6) (SI)y(x,t) = 0{,}04\,\text{sen}\left(100\pi t - 2{,}5\pi x + \frac{\pi}{6}\right)\ \text{(SI)}b)vy=∂y∂t=0,04⋅100πcos⁡(100πt−2,5πx+π6)v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}04\cdot 100\pi\cos\left(100\pi t - 2{,}5\pi x + \frac{\pi}{6}\right)vy(0,0)=4πcos⁡π6=10,9 m/sv_y(0,0) = 4\pi\cos\frac{\pi}{6} = 10{,}9\ \text{m/s}(Con φ0=5π/6\varphi_0 = 5\pi/6 saldría el mismo valor con signo negativo: el punto estaría bajando en lugar de subiendo.)

c)Δφ=k Δx=2,5π⋅0,20=π2 rad=90∘\Delta\varphi = k\,\Delta x = 2{,}5\pi\cdot 0{,}20 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad} = 90^\circ
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Consejo

sen φ0=0,5\text{sen}\,\varphi_0 = 0{,}5 tiene dos soluciones: escríbelas y di cuál eliges y por qué. Si el enunciado no da más información (por ejemplo, el sentido del movimiento), las dos son válidas.
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