FísicaMedio2,5 pts

Núcleo atómico y reacciones nucleares

También trata: Radiactividad y desintegración
Cataluña · 2020 · Septiembre
Enunciado
La datación por carbono 14 es una herramienta muy útil para estimar la edad de restos óseos o fósiles. Esta técnica se basa en el ciclo siguiente:
  • Un núcleo de nitrógeno 14, 714N{}^{14}_{7}\text{N}, captura un neutrón proveniente de rayos cósmicos del espacio, libera un protón y se convierte en carbono 14.
  • El carbono 14 forma moléculas de CO2\text{CO}_2 que son absorbidas por las plantas.
  • Cuando los animales comen, incorporan el carbono 14 de las plantas.
  • Cuando un animal muere, ya no incorpora más carbono 14. A partir de este punto el contenido de carbono 14 disminuye progresivamente y se convierte en nitrógeno 14.
a) (1,25 puntos) Escriba la reacción nuclear mediante la cual el nitrógeno 14 se transforma en carbono 14 por el efecto de los rayos cósmicos. Justifique si la reacción absorbe o libera energía.

b) (1,25 puntos) En el laboratorio se comparan dos muestras óseas de elefante. La muestra AA es de un individuo muerto recientemente y la muestra BB tiene datación desconocida. Sabiendo que la muestra BB contiene un 23 % menos de carbono 14 que la muestra AA, ¿qué edad tiene esta muestra?

Datos: Periodo de semidesintegración del carbono 14: 5 7305\,730 años.

Masas (en unidades de masa atómica):
NeutrónProtónNitrógeno 14Carbono 14
1,008 664 9 u1,007 276 47 u14,003 074 u14,003 241 u
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Resultado
  714N+01n→614C+11p    Δm=−1,22×10−3 u: libera energıˊa    t=2160 an˜os  \boxed{\;{}^{14}_{7}\text{N} + {}^{1}_{0}n \to {}^{14}_{6}\text{C} + {}^{1}_{1}p\;}\qquad \boxed{\;\Delta m = -1{,}22\times 10^{-3}\ \text{u: libera energía}\;}\qquad \boxed{\;t = 2160\ \text{años}\;}
Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a)

0,75 p. 714N+01n→614C+11p{}^{14}_{7}\text{N} + {}^{1}_{0}n \to {}^{14}_{6}\text{C} + {}^{1}_{1}p

Alternativamente, se puede escribir 11H{}^{1}_{1}\text{H} en lugar de 11p{}^{1}_{1}p.

0,5 p. Δm=[m(614C)+m(11p)]−[m(714N)+m(01n)]=−1,22×10−3 u\Delta m = \left[m({}^{14}_{6}\text{C}) + m({}^{1}_{1}p)\right] - \left[m({}^{14}_{7}\text{N}) + m({}^{1}_{0}n)\right] = -1{,}22\times 10^{-3}\ \text{u}

Como la masa disminuye, se debe emitir energía en forma de luz.

b)

0,25 p. m(t)=mA e−λtm(t) = m_A\,e^{-\lambda t}

0,25 p. 12=e−λT1/2⟹λ=−ln⁡0,5T1/2=1,21×10−4 an˜os−1\dfrac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}} \Longrightarrow \lambda = -\dfrac{\ln 0{,}5}{T_{1/2}} = 1{,}21\times 10^{-4}\ \text{años}^{-1}

0,25 p. mA−mBmA×100=23 %⟹mBmA=0,77\dfrac{m_A - m_B}{m_A}\times 100 = 23\,\% \Longrightarrow \dfrac{m_B}{m_A} = 0{,}77

0,5 p. mBmA=0,77=e−λt⟹t=−ln⁡0,77λ=2160 an˜os\dfrac{m_B}{m_A} = 0{,}77 = e^{-\lambda t} \Longrightarrow t = -\dfrac{\ln 0{,}77}{\lambda} = 2160\ \text{años}

Alternativamente:

0,25 p. mA−mBmA×100=23 %⟹mBmA=0,77\dfrac{m_A - m_B}{m_A}\times 100 = 23\,\% \Longrightarrow \dfrac{m_B}{m_A} = 0{,}77

0,75 p.0,77=e−λt0,5=e−λT1/2}⟹ln⁡0,77ln⁡0,5=tT1/2\left.\begin{aligned} 0{,}77 &= e^{-\lambda t}\\ 0{,}5 &= e^{-\lambda T_{1/2}} \end{aligned}\right\} \Longrightarrow \frac{\ln 0{,}77}{\ln 0{,}5} = \frac{t}{T_{1/2}}0,25 p. t=T1/2 ln⁡0,77ln⁡0,5=2160 an˜ost = T_{1/2}\,\dfrac{\ln 0{,}77}{\ln 0{,}5} = 2160\ \text{años}

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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