FísicaMedio2,5 pts

Movimiento armónico simple

Cataluña · 2020 · Septiembre

Enunciado

El movimiento de los insectos en la telaraña hecha por las arañas es un movimiento armónico simple (MAS), es decir, se puede modelizar como una masa en el extremo de un muelle. Se ha observado que cuando la araña está sola en la telaraña produce una vibración de frecuencia

12\ \text{Hz}

. Si un insecto de

1{,}00\ \text{g}

de masa queda atrapado en la telaraña, el conjunto araña e insecto produce una vibración de

10\ \text{Hz}

.

a) (1,25 puntos) Calcule la masa de la araña.

b) (1,25 puntos) Calcule la constante elástica de esta telaraña. ¿En qué posiciones este MAS alcanza la velocidad máxima? ¿Y la aceleración máxima?

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Resultado

\boxed{\;m_{\text{araña}} = 2{,}27\times 10^{-3}\ \text{kg}\;}\qquad \boxed{\;k = 12{,}9\ \text{N/m}\;}

\boxed{\;v_{\text{máx}}\ \text{en el equilibrio};\ a_{\text{máx}}\ \text{en los extremos}\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,25 p.

\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}

1 p.

\left.\begin{aligned} \omega_{\text{araña}+ins} &= \sqrt{\frac{k}{m_{\text{araña}+ins}}}\\ \omega_{\text{araña}} &= \sqrt{\frac{k}{m_{\text{araña}}}} \end{aligned}\right\} \Rightarrow \frac{\omega_{\text{araña}+ins}}{\omega_{\text{araña}}} = \frac{f_{\text{araña}+ins}}{f_{\text{araña}}} = \sqrt{\frac{m_{\text{araña}}}{m_{\text{araña}+ins}}}

\frac{m_{\text{araña}}}{m_{\text{araña}+ins}} = \left(\frac{f_{\text{araña}+ins}}{f_{\text{araña}}}\right)^2 \Longrightarrow \frac{m_{\text{araña}} + m_{ins}}{m_{\text{araña}}} = \left(\frac{f_{\text{araña}}}{f_{\text{araña}+ins}}\right)^2 = \left(\frac{12}{10}\right)^2 = 1{,}44

1 + \frac{m_{ins}}{m_{\text{araña}}} = 1{,}44 \Longrightarrow \frac{m_{ins}}{m_{\text{araña}}} = 0{,}44 \Longrightarrow m_{\text{araña}} = \frac{m_{ins}}{0{,}44} = 2{,}27\ \text{g} = 2{,}27\times 10^{-3}\ \text{kg}

b)

0,1 p.

\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} \Longrightarrow k = m\omega^2

0,65 p.

k = m\omega^2 = m_{\text{araña}}\,(2\pi f_{\text{araña}})^2 = 2{,}27\times 10^{-3}\,(2\pi\,12)^2 = 12{,}9\ \text{N/m}

Alternativamente:

0,65 p.

k = m\omega^2 = m_{\text{araña}+ins}\,(2\pi f_{\text{araña}+ins})^2 = 3{,}27\times 10^{-3}\,(2\pi\,10)^2 = 12{,}9\ \text{N/m}

0,25 p. La velocidad máxima se alcanza en la posición de equilibrio.

0,25 p. La aceleración máxima se alcanza en las posiciones de máxima amplitud.

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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