FísicaMedio2,5 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio

Cataluña · 2020 · Septiembre

Enunciado

La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es una elipse; este hecho hace que la distancia de la Tierra al Sol no sea la misma en todas las épocas del año. El perihelio, la distancia más corta entre la Tierra y el Sol, es de

1{,}471\times 10^{8}\ \text{km}

. La Tierra pasa por el perihelio durante los primeros días del mes de enero de cada año. La velocidad de la Tierra en el perihelio es de

30{,}75\ \text{km/s}

. El afelio es la posición más alejada del Sol. Cuando la Tierra se encuentra en el afelio, su velocidad orbital es de

28{,}76\ \text{km/s}

.

a) (1,25 puntos) Dibuje una órbita claramente elíptica (no hace falta que sea la órbita real) en la que se indique la posición del Sol y la de la Tierra un día de invierno del hemisferio norte. Utilizando argumentos basados en la energía, justifique por qué la velocidad de la Tierra es mínima en el afelio. ¿Cuál es la distancia de la Tierra al Sol en el afelio?

b) (1,25 puntos) ¿Qué intensidad de campo gravitatorio genera el Sol en su superficie? ¿Cuál es el peso de una masa de

10{,}0\ \text{kg}

en la superficie del Sol?

Datos:

G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}

M_{Tierra} = 5{,}97\times 10^{24}\ \text{kg}

M_{Sol} = 1{,}99\times 10^{30}\ \text{kg}

R_{Sol} = 6{,}96\times 10^{5}\ \text{km}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r_a = 1{,}57\times 10^{11}\ \text{m}\;}\qquad \boxed{\;g_S = 274\ \text{m/s}^2\;}\qquad \boxed{\;Peso = 2740\ \text{N}\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

Órbita elíptica con el Sol en un foco y la Tierra en el extremo más cercano al Sol (perihelio)

0,4 p. El Sol está en el foco de la elipse y en invierno la Tierra se debe encontrar en el perihelio o cerca de él.

0,4 p. La energía mecánica de la Tierra se conserva, ya que solo actúa la fuerza de la gravedad, que es una fuerza conservativa.

La energía mecánica es la suma de las energías cinética y potencial gravitatoria:

E_m(r) = \frac{1}{2}M_T v^2 - G\,\frac{M_T M_S}{r} = \text{constante}

Cuando

r

es mínimo, entonces el término

G\,\dfrac{M_S M_T}{r}

es máximo y, por tanto, la energía potencial es mínima en el perihelio y máxima en el afelio.

Como la energía mecánica es constante, si en el afelio la energía potencial gravitatoria es máxima, entonces la energía cinética será mínima y también será mínima la velocidad en este punto de la trayectoria.

También se puede argumentar que: