Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

a) Escribimos el momento lineal en función de la energía cinética:$$E_c = \frac{p^2}{2\,m} \quad\Longrightarrow\quad p = \sqrt{2\,m\,E_c}$$Y de ahí la longitud de onda de De Broglie:$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}}$$Al ser la energía cinética la misma para ambas partículas, la dependencia queda solo en la masa:$$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$$Llamando $1$ a la partícula pesada ($m_1 = 25\,m_2$) y $2$ a la ligera:$$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$$$$\lambda_2 = 5\,\lambda_1$$La partícula más ligera tiene una longitud de onda 5 veces mayor. Nótese que el factor es $5$ y no $25$: al depender $\lambda$ de $1/\sqrt{m}$, la razón entre las longitudes de onda es la raíz de la razón entre las masas.

b) Momento lineal del neutrón. De su energía cinética:$$p_n = \sqrt{2\,m_n\,E_{c,n}} = \sqrt{2\cdot 1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 8\cdot 10^{-19}} = \sqrt{2{,}72\cdot 10^{-45}}$$$$p_n = 5{,}215\cdot 10^{-23}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$Su longitud de onda es, por tanto,$$\lambda = \frac{h}{p_n} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{5{,}215\cdot 10^{-23}} = 1{,}27\cdot 10^{-11}\ \text{m}$$Condición sobre el electrón. Que tenga la misma longitud de onda equivale a que tenga el mismo momento lineal, ya que $\lambda = h/p$:$$p_e = p_n = 5{,}215\cdot 10^{-23}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$Energía cinética del electrón. Con el mismo momento pero mucha menos masa, su energía cinética será mucho mayor:$$E_{c,e} = \frac{p_e^2}{2\,m_e} = \frac{2{,}72\cdot 10^{-45}}{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}} = \frac{2{,}72\cdot 10^{-45}}{1{,}82\cdot 10^{-30}}$$$$E_{c,e} = 1{,}495\cdot 10^{-15}\ \text{J}$$(Es unas $1870$ veces la del neutrón: exactamente la razón de masas $m_n/m_e$, como cabía esperar de $E_c = p^2/2m$ con $p$ común.)

Diferencia de potencial. Al ser acelerado desde el reposo, toda la energía eléctrica se convierte en cinética (el enunciado no da la carga del electrón; usamos su valor conocido, $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}$):$$e\,\Delta V = E_{c,e} \quad\Longrightarrow\quad \Delta V = \frac{E_{c,e}}{e} = \frac{1{,}495\cdot 10^{-15}}{1{,}6\cdot 10^{-19}}$$$$\Delta V = 9{,}34\cdot 10^{3}\ \text{V}$$Unos $9340$ voltios: un valor perfectamente accesible en un laboratorio. La longitud de onda resultante ($1{,}27\cdot 10^{-11}\,\text{m}$) es unas diez veces menor que un átomo, lo que hace de estos electrones una sonda adecuada para estudiar estructuras a escala atómica.