Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

a) Escribimos el momento lineal en función de la energía cinética:$$E_c = \frac{p^2}{2\,m} \quad\Longrightarrow\quad p = \sqrt{2\,m\,E_c}$$Y de ahí la longitud de onda de De Broglie:$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}}$$Con la misma energía cinética para ambas partículas, la dependencia queda solo en la masa:$$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$$Siendo $m_\alpha = 4\,m_p$:$$\frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_\alpha}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$$$\lambda_p = 2\,\lambda_\alpha$$La longitud de onda del protón es el doble que la de la partícula alfa. Obsérvese que la carga no interviene en absoluto: en este apartado lo que comparten es la energía cinética, y la carga solo aparecería si la comparación fuese a igual diferencia de potencial acelerador.

b) Ahora se pide el proceso inverso, y la carga sí interviene.

Momento lineal correspondiente a la longitud de onda pedida:$$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{10^{-13}} = 6{,}63\cdot 10^{-21}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$Energía cinética, con $m_\alpha = 4\,m_p = 4\cdot 1{,}7\cdot 10^{-27} = 6{,}8\cdot 10^{-27}\,\text{kg}$:$$E_c = \frac{p^2}{2\,m_\alpha} = \frac{(6{,}63\cdot 10^{-21})^2}{2\cdot 6{,}8\cdot 10^{-27}} = \frac{4{,}396\cdot 10^{-41}}{1{,}36\cdot 10^{-26}}$$$$E_c = 3{,}232\cdot 10^{-15}\ \text{J}$$Diferencia de potencial. Al ser acelerada desde el reposo, toda la energía eléctrica se convierte en cinética. Y aquí está el detalle decisivo: la carga de la partícula alfa es$$q_\alpha = 2\,e = 3{,}2\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$$$q_\alpha\,\Delta V = E_c \quad\Longrightarrow\quad \Delta V = \frac{E_c}{2\,e} = \frac{3{,}232\cdot 10^{-15}}{3{,}2\cdot 10^{-19}}$$$$\Delta V = 1{,}01\cdot 10^{4}\ \text{V}$$Poco más de diez mil voltios, un valor perfectamente alcanzable en un laboratorio. La longitud de onda resultante ($10^{-13}\,\text{m}$) es unas cien veces menor que el tamaño de un átomo, lo que hace de estas partículas una buena sonda para explorar la estructura interna de la materia: es, en esencia, la idea del experimento de Rutherford.