Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

a) De la relación de De Broglie,$$\lambda = \frac{h}{p}$$la igualdad de longitudes de onda equivale a la igualdad de momentos lineales:$$\lambda_1 = \lambda_2 \quad\Longleftrightarrow\quad p_1 = p_2 = p$$Expresamos ahora la energía cinética en función del momento, que es lo que permite comparar:$$E_c = \tfrac{1}{2}m\,v^2 = \frac{(m\,v)^2}{2\,m} = \frac{p^2}{2\,m}$$Con $p$ común a ambas, la energía cinética resulta inversamente proporcional a la masa:$$E_c \propto \frac{1}{m}$$Aplicando la condición del enunciado, $E_{c1} = 2\,E_{c2}$:$$\frac{p^2}{2\,m_1} = 2\cdot\frac{p^2}{2\,m_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{m_1} = \frac{2}{m_2}$$$$m_2 = 2\,m_1$$La partícula con el doble de energía cinética tiene la mitad de masa. Es coherente: para tener el mismo momento lineal, la partícula ligera debe moverse mucho más rápido, y la velocidad entra al cuadrado en la energía cinética.

b) i) Al ser acelerado desde el reposo, toda la energía eléctrica se convierte en cinética:$$e\,\Delta V = \tfrac{1}{2}m_p\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,e\,\Delta V}{m_p}}$$$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 1000}{1{,}7\cdot 10^{-27}}} = \sqrt{\frac{3{,}2\cdot 10^{-16}}{1{,}7\cdot 10^{-27}}} = \sqrt{1{,}882\cdot 10^{11}}$$$$v = 4{,}34\cdot 10^{5}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(Es un $0{,}14\,\%$ de la velocidad de la luz, así que el tratamiento no relativista está plenamente justificado.)

b) ii) Momento lineal y longitud de onda:$$p = m_p\,v = 1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 4{,}34\cdot 10^{5} = 7{,}38\cdot 10^{-22}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{7{,}38\cdot 10^{-22}}$$$$\lambda = 8{,}99\cdot 10^{-13}\ \text{m}$$Es del orden de una milésima de ångström, mucho menor que las distancias interatómicas: por eso los protones acelerados a estas energías no producen efectos de difracción apreciables en un cristal, a diferencia de los electrones.