FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Núcleo atómico y reacciones nucleares

Andalucía · 2020 · Septiembre · Opción A

Enunciado

a) Dibuje de forma aproximada la gráfica que representa la energía de enlace por nucleón en función del número másico e indique, razonadamente, a partir de ella, dónde están favorecidos energéticamente los procesos de fusión y fisión nuclear.

b) La masa atómica del isótopo

^{14}_{6}\text{C}

14{,}003241\,\text{u}

. Calcule: i) El defecto de masa. ii) La energía de enlace por nucleón.

Datos:

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

;

1\,\text{u} = 1{,}66\cdot 10^{-27}\,\text{kg}

;

m_p = 1{,}007276\,\text{u}

;

m_n = 1{,}008665\,\text{u}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Fusión favorecida en } A < 56 \text{ (rama ascendente); fisión en } A > 56 \text{ (descendente)}\;}

\boxed{\;\Delta m = 0{,}109735\ \text{u} = 1{,}822\cdot 10^{-28}\ \text{kg}\;}

\boxed{\;E_e = 1{,}64\cdot 10^{-11}\ \text{J};\quad \dfrac{E_e}{A} = 1{,}17\cdot 10^{-12}\ \text{J} = 7{,}32\ \text{MeV/nucleón}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En b) hay que contar bien los nucleones: el

^{14}_{6}\text{C}

tiene

Z = 6

protones y

A - Z = 8

neutrones. Con eso, el defecto de masa es la diferencia entre la suma de sus masas por separado y la masa real del núcleo.

Después, energía de enlace con

E = \Delta m\,c^2

y división entre

A = 14

Desarrollo

a) La gráfica de la energía de enlace por nucleón

E_e/A

frente al número másico

A

tiene esta forma característica:

Crece muy rápidamente para los núcleos ligeros ( $A < 20$ ), partiendo de valores bajos, con picos locales en núcleos especialmente compactos como el $^{4}\text{He}$ , el $^{12}\text{C}$ o el $^{16}\text{O}$ .
Alcanza un máximo en torno a $A \approx 56$ (la zona del hierro), con unos $8{,}8\,\text{MeV}$ por nucleón.
Desciende suavemente para los núcleos pesados, hasta unos $7{,}6\,\text{MeV}$ en el uranio, por la creciente repulsión electrostática entre los protones.

Cuanto mayor es

E_e/A

, más estable es el núcleo. De la forma de la curva se deducen las dos zonas favorables:

Fusión: favorecida en los núcleos ligeros ( $A < 56$ ), la rama ascendente. Al unir dos núcleos pequeños se obtiene uno mayor, situado más arriba en la curva, con más energía de enlace por nucleón: la diferencia se libera. Es lo que ocurre en las estrellas.
Fisión: favorecida en los núcleos pesados ( $A > 56$ ), la rama descendente. Al romper un núcleo muy grande se obtienen fragmentos intermedios, también más arriba en la curva, y de nuevo se libera la diferencia.

En ambos casos el sistema evoluciona hacia el máximo, que es la posición de mayor estabilidad. Por eso el hierro es el punto final de la nucleosíntesis estelar: a partir de ahí, ni fusionar ni fisionar libera energía.

b) i) El

^{14}_{6}\text{C}

tiene

Z = 6

protones y

N = 14 - 6 = 8

neutrones. El defecto de masa es la diferencia entre la suma de las masas de sus nucleones por separado y la masa real del núcleo:

\Delta m = \bigl[Z\,m_p + N\,m_n\bigr] - m_{\text{núcleo}}

\Delta m = 6\cdot 1{,}007276 + 8\cdot 1{,}008665 - 14{,}003241

\Delta m = 6{,}043656 + 8{,}069320 - 14{,}003241 = 14{,}112976 - 14{,}003241

\Delta m = 0{,}109735\ \text{u}

En kilogramos:

\Delta m = 0{,}109735\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27} = 1{,}822\cdot 10^{-28}\ \text{kg}

El resultado es positivo, como debe ser: la masa del núcleo es siempre menor que la de sus componentes por separado.

b) ii) La energía de enlace es esa masa "desaparecida" convertida en energía:

E_e = \Delta m\,c^2 = 1{,}822\cdot 10^{-28}\cdot (3\cdot 10^{8})^2 = 1{,}822\cdot 10^{-28}\cdot 9\cdot 10^{16}

E_e = 1{,}639\cdot 10^{-11}\ \text{J}

Y dividiendo entre los

14

nucleones:

\frac{E_e}{A} = \frac{1{,}639\cdot 10^{-11}}{14}

\frac{E_e}{A} = 1{,}171\cdot 10^{-12}\ \text{J/nucleón} = 7{,}32\ \text{MeV/nucleón}

El valor encaja perfectamente con la gráfica del apartado a): con

A = 14

estamos en la rama ascendente, todavía por debajo del máximo de

8{,}8\,\text{MeV}

, así que el carbono-14 podría en principio liberar energía por fusión.

Consejo

Cuenta bien: $6$ protones y $8$ neutrones, no $6$ y $6$ . El número de neutrones es $A - Z$ , y confundirlo cambia el defecto de masa por completo.

Y conserva todas las cifras decimales hasta el final: el defecto de masa es la diferencia entre dos números casi iguales ( $14{,}113$ y $14{,}003$ ). Redondear antes de restar puede llevarse la mitad del resultado.