Efecto fotoeléctrico y cuantización

a) i) Verdadera. La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico es$$E_{c,\text{máx}} = h\,f - W_0$$Comparándola con la ecuación de una recta $y = m\,x + n$, con $y = E_{c,\text{máx}}$ y $x = f$:

• la pendiente es $m = h$, la constante de Planck, igual para todos los metales;
• la ordenada en el origen es $n = -W_0$, que sí depende del metal.

La relación es, por tanto, lineal, y fue precisamente la predicción que Millikan comprobó experimentalmente, confirmando la hipótesis de los cuantos. (Con la salvedad de que solo tiene sentido para $f \geq f_0$: por debajo de la frecuencia umbral no hay emisión.)

a) ii) Falsa. El trabajo de extracción $W_0$ es una característica del metal: mide la energía mínima necesaria para arrancar un electrón de su superficie, y depende únicamente de la naturaleza del material y de su estado superficial.

No tiene ninguna relación con la luz incidente. Es una constante del metal, no una variable del experimento: por eso, en el apartado b), las dos experiencias con frecuencias distintas comparten el mismo $W_0$, y ése es justamente el hecho que permite resolver el problema.

Lo que sí aumenta con la frecuencia es la energía cinética de los electrones emitidos, como dice la proposición i). Confundir ambas cosas es el error que la pregunta busca detectar.

b) i) El potencial de frenado $V_f$ es el que detiene a los electrones más energéticos, de modo que$$E_{c,\text{máx}} = e\,V_f$$Escribimos la ecuación de Einstein para las dos experiencias, con el mismo trabajo de extracción:$$e\,V_1 = h\,f_1 - W_0 \qquad e\,V_2 = h\,f_2 - W_0$$Restando ambas, el término $W_0$ desaparece:$$e\,(V_2 - V_1) = h\,(f_2 - f_1) \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{e\,(V_2 - V_1)}{f_2 - f_1}$$Sustituyendo:$$h = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot(9{,}125 - 5)}{3\cdot 10^{15} - 2\cdot 10^{15}} = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 4{,}125}{1\cdot 10^{15}} = \frac{6{,}6\cdot 10^{-19}}{10^{15}}$$$$h = 6{,}6\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$$Prácticamente el valor aceptado, $6{,}626\cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$. Éste es, en esencia, el método con el que Millikan determinó experimentalmente la constante de Planck en 1916.

b) ii) Con $h$ ya conocida, usamos cualquiera de las dos experiencias para obtener el trabajo de extracción:$$W_0 = h\,f_1 - e\,V_1 = 6{,}6\cdot 10^{-34}\cdot 2\cdot 10^{15} - 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 5$$$$W_0 = 1{,}32\cdot 10^{-18} - 8\cdot 10^{-19} = 5{,}2\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 3{,}25\ \text{eV}$$Y la frecuencia umbral:$$f_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{5{,}2\cdot 10^{-19}}{6{,}6\cdot 10^{-34}}$$$$f_0 = 7{,}88\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$$Se puede comprobar con la segunda experiencia: $W_0 = 6{,}6\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{15} - 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 9{,}125 = 1{,}98\cdot 10^{-18} - 1{,}46\cdot 10^{-18} = 5{,}2\cdot 10^{-19}\,\text{J}$ ✓.