FísicaMedioCuestión · 1,5 pts

Problema resuelto de Física: Núcleo atómico y reacciones nuclearesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Una partícula de masa en reposo

m

y energía igual a tres veces su energía en reposo se une a otra de igual masa y energía para formar una única partícula con velocidad nula y energía en reposo

Mc^2

. Si en el proceso de unión se conserva la energía, calcula razonadamente el valor de

M

en función de

m

y la velocidad de las partículas iniciales en función de la velocidad de la luz en el vacío,

c

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Por conservación de la energía,

2\cdot 3mc^2 = Mc^2

M = 6m

(la energía cinética inicial se convierte en masa). Con

\gamma = 3

v = \sqrt{8/9}\,c = \tfrac{2\sqrt2}{3}\,c \approx 0{,}943\,c

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En relatividad la energía total de una partícula es

E = \gamma mc^2

, la suma de su energía en reposo

mc^2

y su energía cinética. Antes de unirse hay dos partículas, cada una con energía

3mc^2

; después, una sola partícula en reposo, cuya energía es solo la de reposo,

Mc^2

. Igualando sale

M

, y del factor

\gamma = 3

despejamos la velocidad. La sorpresa: la masa final no es

2m

, porque la energía cinética inicial se convierte en masa.

Desarrollo

Energía relativista. Una partícula de masa en reposo

m

que se mueve con velocidad

v

tiene una energía total

E = \gamma\,m c^2, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

Conservación de la energía. Cada partícula inicial tiene

E = 3mc^2

. La partícula final está en reposo, así que su energía es su energía en reposo:

3mc^2 + 3mc^2 = Mc^2 \quad\Longrightarrow\quad M = 6m

La masa final es mayor que la suma de las masas iniciales (

2m

): la energía cinética de las partículas,

2\cdot 2mc^2 = 4mc^2

, se ha transformado en masa.

Velocidad de las partículas iniciales. Como

E = 3mc^2 = \gamma mc^2

, el factor de Lorentz vale

\gamma = 3

\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = 3 \quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac19 \quad\Longrightarrow\quad v = c\,\sqrt{\frac89} = \frac{2\sqrt2}{3}\,c \approx 0{,}943\,c

Es menor que

c

, como debe ser para una partícula con masa.

Consejo

Distingue bien energía total ( $\gamma mc^2$ ), energía en reposo ( $mc^2$ ) y energía cinética ( $(\gamma - 1)mc^2$ ): «tres veces su energía en reposo» se refiere a la total, así que $\gamma = 3$ , no $\gamma = 4$ .

El error típico es contestar $M = 2m$ sumando masas: en relatividad lo que se conserva es la energía, no la masa. Escribe la ecuación de conservación antes de despejar, que es lo que se puntúa.