FísicaMedioProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Un satélite artificial de la Tierra tiene una velocidad de

4{,}2\,\text{km/s}

en una determinada órbita circular. Calcula:

a) Las expresiones del radio de la órbita y del periodo del movimiento, así como sus valores numéricos. (1 punto)

b) La velocidad con la que debe lanzarse el satélite desde la superficie terrestre para situarlo en dicha órbita. (1 punto)

Datos: constante de gravitación universal,

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2

; masa de la Tierra,

M_T = 6\cdot 10^{24}\,\text{kg}

; radio de la Tierra,

R_T = 6400\,\text{km}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

r = GM_T/v^2 = 2{,}27\cdot10^{7}\,\text{m}

;

T = 2\pi r/v = 2\pi GM_T/v^3 = 3{,}39\cdot10^{4}\,\text{s} \approx 9{,}4\,\text{h}

.

b)

v_0 = \sqrt{2GM_T\,(1/R_T - 1/2r)} = 1{,}04\cdot10^{4}\,\text{m/s}

(

10{,}4\,\text{km/s}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta: de ahí sale la relación entre la velocidad y el radio, y con el radio, el periodo. En b) usamos la conservación de la energía mecánica, porque la única fuerza que actúa tras el lanzamiento es la gravitatoria: la energía con la que sale de la superficie (cinética más potencial) tiene que ser la energía del satélite en su órbita. No se tiene en cuenta la rotación de la Tierra.

Desarrollo

a) Condición de órbita circular. La fuerza gravitatoria es la centrípeta:

\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{G M_T}{v^2}

Radio.

r = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 6\cdot10^{24}}{(4{,}2\cdot10^{3})^2} = \frac{4{,}00\cdot10^{14}}{1{,}764\cdot10^{7}} = 2{,}27\cdot10^{7}\,\text{m}

Son unos

3{,}5

radios terrestres.

Periodo. En una vuelta recorre

2\pi r

a velocidad constante:

T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi G M_T}{v^3} = \frac{2\pi\cdot 2{,}27\cdot10^{7}}{4{,}2\cdot10^{3}} = 3{,}39\cdot10^{4}\,\text{s} \approx 9{,}4\,\text{h}

b) Energía en la superficie. Lanzado con velocidad

v_0

desde

R_T

E_{m,\text{sup}} = \frac12 m v_0^2 - \frac{G M_T m}{R_T}

Energía en la órbita. Con

v^2 = GM_T/r

, la energía cinética es

\frac12 m v^2 = \frac{GM_T m}{2r}

y la mecánica

E_{m,\text{órb}} = \frac{G M_T m}{2r} - \frac{G M_T m}{r} = -\frac{G M_T m}{2r}

Conservación de la energía. Igualamos y despejamos

v_0

(la masa del satélite se simplifica):

\frac12 v_0^2 - \frac{G M_T}{R_T} = -\frac{G M_T}{2r} \quad\Longrightarrow\quad v_0 = \sqrt{2 G M_T\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2r}\right)}

Valor numérico.

v_0 = \sqrt{2\cdot 4{,}00\cdot10^{14}\left(\frac{1}{6{,}4\cdot10^{6}} - \frac{1}{2\cdot 2{,}27\cdot10^{7}}\right)} = 1{,}04\cdot10^{4}\,\text{m/s} \approx 10{,}4\,\text{km/s}

Es algo menor que la velocidad de escape (

11{,}2\,\text{km/s}

), como debe ser: el satélite queda ligado a la Tierra.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Se piden las expresiones, no solo los números: escribe $r = GM_T/v^2$ y $T = 2\pi r/v$ antes de sustituir, porque la mitad de cada apartado es el planteamiento simbólico.

En b) es frecuente igualar la energía de lanzamiento solo a la energía potencial de la órbita: el satélite tiene que llegar con su velocidad orbital, así que la energía final es $-GM_Tm/2r$ , no $-GM_Tm/r$ . Y pasa $R_T$ a metros.

Paso 1 de 3

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