FísicaMedioProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Radiactividad y desintegraciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

^{60}\text{Co}

se utilizaba como fuente de rayos gamma para ciertos tratamientos de radioterapia. Su periodo de semidesintegración es de

1925

días. Se dispone de una muestra de

100\,\text{g}

^{60}\text{Co}

.

a) Calcula el valor de la constante de desintegración radiactiva y de la actividad inicial de la muestra. (1 punto)

b) Si hay que reemplazar la muestra cuando la actividad ha descendido a un tercio de la actividad inicial, ¿cuál es la vida útil en años de una muestra destinada a este uso? (1 punto)

Datos: número de Avogadro,

N_A = 6\cdot 10^{23}\,\text{mol}^{-1}

; masa molar del

^{60}\text{Co}

M = 60\,\text{g/mol}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\lambda = \ln 2/T_{1/2} = 4{,}17\cdot10^{-9}\,\text{s}^{-1}

;

N_0 = 1\cdot10^{24}

núcleos y

A_0 = \lambda N_0 = 4{,}17\cdot10^{15}\,\text{Bq}

.

b)

t = \ln 3/\lambda = 3051

días

\approx 8{,}4

años de vida útil.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El periodo de semidesintegración y la constante de desintegración están ligados por

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

. Para la actividad,

A = \lambda N

, necesitamos cuántos núcleos hay en 100 g, que sale de la masa molar y del número de Avogadro. Conviene pasar el periodo a segundos para que la actividad salga en becquerelios. En b), la actividad decae igual que el número de núcleos,

A = A_0\,e^{-\lambda t}

: imponemos

A = A_0/3

y despejamos el tiempo con logaritmos.

Desarrollo

a) Constante de desintegración. Pasamos el periodo a segundos:

T_{1/2} = 1925\cdot 86\,400 = 1{,}663\cdot10^{8}\,\text{s}

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{1{,}663\cdot10^{8}} = 4{,}17\cdot10^{-9}\,\text{s}^{-1}

(equivale a

3{,}60\cdot10^{-4}\,\text{días}^{-1}

).

Núcleos iniciales.

N_0 = \frac{m}{M}\,N_A = \frac{100}{60}\cdot 6\cdot10^{23} = 1\cdot10^{24}\ \text{núcleos}

Actividad inicial.

A_0 = \lambda N_0 = 4{,}17\cdot10^{-9}\cdot 1\cdot10^{24} = 4{,}17\cdot10^{15}\,\text{Bq}

b) Ley de la actividad. La actividad es proporcional al número de núcleos que quedan, así que decae con la misma ley:

A = A_0\,e^{-\lambda t}

Condición de reemplazo. Con

A = A_0/3

\frac{A_0}{3} = A_0\,e^{-\lambda t} \quad\Longrightarrow\quad e^{\lambda t} = 3 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln 3}{\lambda} = T_{1/2}\,\frac{\ln 3}{\ln 2}

Valor numérico.

t = 1925\cdot\frac{1{,}0986}{0{,}6931} = 3051\ \text{días} = \frac{3051}{365} \approx 8{,}4\ \text{años}

Tiene sentido: un tercio está entre un medio (1 periodo, 5,3 años) y un cuarto (2 periodos, 10,5 años).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para la actividad en becquerelios, $\lambda$ tiene que ir en $\text{s}^{-1}$ : si la dejas en $\text{días}^{-1}$ la actividad sale en desintegraciones por día, un error que se nota en la nota.

En b) se valoran el planteamiento simbólico (0,6) y el número (0,4): escribe $t = \ln 3/\lambda$ antes de sustituir y no olvides pasar el resultado a años, que es lo que se pregunta.