FísicaFácilCuestión · 1,5 pts

Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

En la figura se representa un instante de la propagación de una onda armónica en una cuerda. La onda se mueve hacia la derecha sobre el eje

x

, su periodo es

T = 4\,\text{s}

, la distancia entre los puntos

P

Q

es de

45\,\text{cm}

. Determina razonadamente la longitud de onda, la frecuencia angular y la velocidad de propagación.

Forma de una cuerda en un instante: una sinusoide sobre el eje x. P es un punto de corte con el eje en el que la cuerda sube; Q es otro corte con el eje, después de dos crestas, en el que la cuerda baja. La distancia entre P y Q es 45 cm.

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Resultado

Entre P y Q hay

\tfrac32\lambda

\lambda = 0{,}30\,\text{m}

. Frecuencia angular

\omega = 2\pi/T = \pi/2\,\text{rad/s} \approx 1{,}57\,\text{rad/s}

. Velocidad de propagación

v = \lambda/T = 0{,}075\,\text{m/s}

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Estrategia

Todo sale de leer bien la figura: hay que contar cuántas longitudes de onda caben entre P y Q. Una longitud de onda es la distancia entre dos puntos en el mismo estado de vibración (por ejemplo, dos cortes con el eje en los que la cuerda sube). Con

\lambda

y el periodo, la frecuencia angular y la velocidad son inmediatas.

Desarrollo

Longitud de onda. En P la cuerda corta el eje subiendo. Si avanzamos hacia la derecha: cresta, corte bajando, valle, corte subiendo (aquí se completa una longitud de onda), cresta y, por fin, Q, un corte bajando. Entre P y Q hay, por tanto, una longitud de onda y media:

\overline{PQ} = \frac{3}{2}\,\lambda \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{2}{3}\,\overline{PQ} = \frac{2}{3}\cdot 0{,}45 = 0{,}30\,\text{m}

Se comprueba con que P y Q vibran en oposición de fase: uno sube cuando el otro baja, como corresponde a puntos separados un número impar de semilongitudes de onda.

Frecuencia angular.

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\,\text{rad/s} \approx 1{,}57\,\text{rad/s}

Velocidad de propagación. En un periodo la onda avanza una longitud de onda:

v = \frac{\lambda}{T} = \frac{0{,}30}{4} = 0{,}075\,\text{m/s} = 7{,}5\,\text{cm/s}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El «razonamiento inicial» vale tanto como el cálculo de $\lambda$ : explica cómo cuentas las longitudes de onda en la figura. No confundas $\overline{PQ}$ con $\lambda$ ni con $\lambda/2$ solo porque P y Q estén en el eje: fíjate en si la cuerda sube o baja en cada punto.

No confundas la frecuencia angular $\omega$ (rad/s) con la frecuencia $f = 1/T$ (Hz).