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Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

Una onda sinusoidal transversal en una cuerda se propaga en el sentido positivo del eje X con una velocidad de

1\,\text{m/s}

y un periodo de

0{,}2\,\text{s}

. En el instante inicial, el punto de la cuerda situado en el origen de coordenadas tiene una elongación positiva igual a su amplitud.

a) Calcula los valores de la frecuencia angular, el número de onda y la fase inicial. (1 punto)

b) Si la amplitud de la onda es de

0{,}1\,\text{m}

, escribe la función de onda

y(x,t)

¿qué elongación tiene el punto de la cuerda

x = 0{,}2\,\text{m}

en el instante

t = 0{,}4\,\text{s}

? (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\omega = 10\pi\,\text{rad/s} \approx 31{,}4\,\text{rad/s}

;

k = 10\pi\,\text{rad/m} \approx 31{,}4\,\text{rad/m}

;

\varphi_0 = \pi/2\,\text{rad}

(con la forma en seno).

b)

y(x,t) = 0{,}1\,\text{sen}(10\pi t - 10\pi x + \pi/2)\,\text{m}

. En

x = 0{,}2\,\text{m}

t = 0{,}4\,\text{s}

y = 0{,}1\,\text{m}

(elongación máxima).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con el periodo sale la frecuencia angular, y con ella y la velocidad de propagación, el número de onda. La fase inicial se obtiene imponiendo la condición del enunciado: en

x = 0

t = 0

la elongación es máxima. Escribimos la onda con la forma

y = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)

, con el signo menos porque viaja hacia

X

positivo, y sustituimos.

Desarrollo

a) Frecuencia angular.

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}2} = 10\pi\,\text{rad/s} \approx 31{,}4\,\text{rad/s}

Número de onda. Como

v = \omega/k

k = \frac{\omega}{v} = \frac{10\pi}{1} = 10\pi\,\text{rad/m} \approx 31{,}4\,\text{rad/m}

(La longitud de onda es

\lambda = vT = 0{,}2\,\text{m}

, y

k = 2\pi/\lambda

da lo mismo.)

Fase inicial. Tomamos la onda que viaja hacia

X

positivo:

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)

x = 0

t = 0

la elongación es igual a la amplitud:

y(0,0) = A\,\text{sen}\,\varphi_0 = A\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\varphi_0 = 1\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{2}\,\text{rad}

(Si se escribe la onda con coseno, la misma condición da

\varphi_0 = 0

: es la misma onda.)

b) Función de onda. Con

A = 0{,}1\,\text{m}

y(x,t) = 0{,}1\,\text{sen}\!\left(10\pi\,t - 10\pi\,x + \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}

con

x

en metros y

t

en segundos.

Elongación en $x = 0{,}2\,\text{m}$ , $t = 0{,}4\,\text{s}$ . La fase vale

10\pi\cdot 0{,}4 - 10\pi\cdot 0{,}2 + \frac{\pi}{2} = 4\pi - 2\pi + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}\ \text{rad}

y(0{,}2;\ 0{,}4) = 0{,}1\,\text{sen}\!\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 0{,}1\cdot 1 = 0{,}1\,\text{m}

Interpretación. El punto

x = 0{,}2\,\text{m}

está a una longitud de onda del origen, así que vibra en fase con él; y

t = 0{,}4\,\text{s}

son dos periodos justos. Por eso está igual que el origen en

t = 0

: en su elongación máxima.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La fase inicial depende de si escribes la onda con seno o con coseno: di cuál usas, porque el corrector acepta las dos si son coherentes. Pon la calculadora en radianes antes de sustituir, y fíjate en el signo de $kx$ : hacia $X$ positivo, $\omega t - kx$ .