Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Julio · Opción B

a) Campo de una masa puntual. Una masa $m$ crea a una distancia $r$ un campo$$\vec g = -G\,\frac{m}{r^2}\,\vec u_r$$donde $\vec u_r$ va de la masa al punto: el campo apunta hacia la masa.

Distancias y unitarios. Llamamos $m_1$ a la de $(-3,0)$ y $m_2$ a la de $(3,0)$. Desde cada masa hasta $P = (0,4)$:$$\vec r_1 = 3\,\vec\imath + 4\,\vec\jmath,\qquad \vec r_2 = -3\,\vec\imath + 4\,\vec\jmath,\qquad r_1 = r_2 = 5\,\text{m}$$$$\vec u_1 = 0{,}6\,\vec\imath + 0{,}8\,\vec\jmath,\qquad \vec u_2 = -0{,}6\,\vec\imath + 0{,}8\,\vec\jmath$$Módulo de cada campo.$$g_1 = g_2 = G\,\frac{m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 1}{25} = 2{,}67\cdot10^{-12}\,\text{N/kg}$$Vectores campo.$$\vec g_1 = -2{,}67\cdot10^{-12}\,(0{,}6\,\vec\imath + 0{,}8\,\vec\jmath) = -1{,}60\cdot10^{-12}\,\vec\imath - 2{,}13\cdot10^{-12}\,\vec\jmath\ \ \text{N/kg}$$$$\vec g_2 = -2{,}67\cdot10^{-12}\,(-0{,}6\,\vec\imath + 0{,}8\,\vec\jmath) = 1{,}60\cdot10^{-12}\,\vec\imath - 2{,}13\cdot10^{-12}\,\vec\jmath\ \ \text{N/kg}$$Campo total (superposición):$$\vec g = \vec g_1 + \vec g_2 = -4{,}27\cdot10^{-12}\,\vec\jmath\ \ \text{N/kg}$$Apunta hacia abajo, hacia el punto medio entre las masas: las componentes horizontales se anulan por simetría.

¿Dónde se anula el campo? Para que $\vec g_1 + \vec g_2 = \vec 0$, los dos campos tienen que ser opuestos (estar en la recta que une las masas y apuntar en sentidos contrarios) y de igual módulo. Fuera del segmento que las une, los dos apuntan hacia el mismo lado y se suman; fuera del eje $X$ no son colineales. Solo entre las masas son opuestos, y como las masas son iguales, tienen igual módulo en el punto que equidista de ambas:$$\vec g = \vec 0\ \ \text{en}\ \ (0,0)\,\text{m}$$Es el único punto (a distancia finita) donde se anula.

b) Potencial de una masa puntual. Es un escalar, siempre negativo:$$V = -G\,\frac{m}{r}$$$$V_1 = V_2 = -\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 1}{5} = -1{,}33\cdot10^{-11}\,\text{J/kg}$$Potencial total.$$V = V_1 + V_2 = -2{,}67\cdot10^{-11}\,\text{J/kg}$$¿Dónde se anula el potencial? Cada término $-Gm/r$ es negativo en cualquier punto a distancia finita, así que la suma de dos términos negativos nunca puede valer cero. El potencial solo tiende a cero en el infinito, que es donde se ha tomado su origen. No hay ningún punto (a distancia finita) con potencial nulo.