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Problema resuelto de Física: Campo magnético creado por corrientesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

Dos hilos rectilíneos indefinidos, paralelos y separados una distancia

d = 2\,\text{cm}

conducen las corrientes

I_1

I_2

, con los sentidos representados en la figura. En el punto

P

, equidistante a ambos hilos, el módulo del campo magnético creado sólo por la corriente

I_1

0{,}06\,\text{mT}

, y el del campo total debido a las dos corrientes es

0{,}04\,\text{mT}

. Ambos campos (el debido a

I_1

y el total) tienen la misma dirección y sentido.

Dos hilos verticales paralelos separados una distancia d; por el de la izquierda circula la corriente I1 hacia arriba y por el de la derecha la corriente I2, también hacia arriba. El punto P está en el centro, entre los dos hilos.

a) Calcula razonadamente el campo magnético generado por la corriente

I_2

y representa claramente todos los vectores campo magnético involucrados. (1 punto)

b) Calcula el valor de las corrientes

I_1

I_2

. (1 punto)

Dato: permeabilidad magnética del vacío,

\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\,\text{T m/A}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

B_2 = 0{,}02\,\text{mT}

, opuesto a

\vec B_1

\vec B_1 = -6\cdot10^{-5}\,\vec k\,\text{T}

(entra),

\vec B_2 = 2\cdot10^{-5}\,\vec k\,\text{T}

(sale) y

\vec B = -4\cdot10^{-5}\,\vec k\,\text{T}

(entra), con

Z

saliendo del papel.

b)

I_1 = 3\,\text{A}

I_2 = 1\,\text{A}

, las dos hacia arriba.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada hilo crea en

P

un campo perpendicular al plano del papel, de módulo

\mu_0 I/(2\pi r)

y sentido dado por la regla de la mano derecha. Como las dos corrientes van hacia arriba y

P

está entre ellas, los dos campos en

P

tienen sentidos opuestos: uno entra en el papel y el otro sale. Por eso el total es menor que el de

I_1

solo, y como conserva su sentido, el de

I_2

es más débil y se resta. En b) basta con despejar cada corriente de la expresión del campo de un hilo, con

r = d/2

Desarrollo

a) Campo de un hilo indefinido. A una distancia

r

de un hilo con corriente

I

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

Las líneas de campo son circunferencias alrededor del hilo; el sentido se obtiene con la mano derecha (pulgar en el sentido de la corriente, los dedos indican el giro de

\vec B

).

Sentido de cada campo en $P$ . Tomamos

X

hacia la derecha,

Y

hacia arriba (sentido de las corrientes) y

Z

saliendo del papel.

$I_1$ (hilo izquierdo, hacia arriba): $P$ está a su derecha. $\vec u_I \times \vec u_r = \vec\jmath\times\vec\imath = -\vec k$ : $\vec B_1$ entra en el papel.
$I_2$ (hilo derecho, hacia arriba): $P$ está a su izquierda. $\vec\jmath\times(-\vec\imath) = +\vec k$ : $\vec B_2$ sale del papel.

Superposición. El campo total es

\vec B = \vec B_1 + \vec B_2

. Como

\vec B_1

\vec B_2

son opuestos y el total tiene el mismo sentido que

\vec B_1

(entrante), el módulo del total es la diferencia:

B = B_1 - B_2\quad\Longrightarrow\quad B_2 = B_1 - B = 0{,}06 - 0{,}04 = 0{,}02\,\text{mT}

En vectores:

\vec B_1 = -6\cdot10^{-5}\,\vec k\ \text{T},\qquad \vec B_2 = +2\cdot10^{-5}\,\vec k\ \text{T},\qquad \vec B = -4\cdot10^{-5}\,\vec k\ \text{T}

Representación. En

P

\vec B_1

como una cruz (⊗, entra en el papel) de tamaño

6

;

\vec B_2

como un punto (⊙, sale del papel) de tamaño

2

; y el total

\vec B

, entrante (⊗) de tamaño

4

. Si se dibujan en perspectiva, los tres van sobre la perpendicular al plano de los hilos,

\vec B_1

\vec B

hacia dentro y

\vec B_2

hacia fuera.

Dos hilos verticales con corrientes hacia arriba y el punto P en el centro: el campo de I1 entra en el papel y mide 0,06 mT; el de I2 sale y mide 0,02 mT; el total entra y mide 0,04 mT. Los símbolos se dibujan con tamaño proporcional al módulo

b) Corrientes.

P

está a

r = d/2 = 1\,\text{cm} = 0{,}01\,\text{m}

de cada hilo. Despejando la corriente:

I = \frac{2\pi r B}{\mu_0}

I_1 = \frac{2\pi\cdot 0{,}01\cdot 6\cdot10^{-5}}{4\pi\cdot10^{-7}} = 3\,\text{A}

I_2 = \frac{2\pi\cdot 0{,}01\cdot 2\cdot10^{-5}}{4\pi\cdot10^{-7}} = 1\,\text{A}

Tiene sentido: la corriente de la izquierda es mayor y su campo domina en el punto medio.

Consejo

Antes de restar módulos, justifica con la regla de la mano derecha que los dos campos son opuestos: corrientes paralelas en el mismo sentido dan campos opuestos entre los hilos. Sin ese razonamiento, «0,06 − 0,04» parece un truco y el corrector no lo puntúa entero. Y no olvides que $r$ es la mitad de $d$ : con $r = 2\,\text{cm}$ las corrientes salen el doble.