FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Junio · Opción B

También trata: Campo y potencial gravitatorio
País Vasco · 2019 · Junio · Opción B
Enunciado
La masa del planeta Venus es 4,87⋅1024 kg4{,}87\cdot 10^{24}\ \text{kg} y gira en torno al Sol en una órbita circular de radio de 108 millones de kilómetros.

a) Sabiendo que la aceleración de la gravedad en la superficie de Venus es 8,87 m⋅s−28{,}87\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}, calcula el diámetro del planeta (debes expresarlo en km).

b) ¿Cuánto vale la velocidad orbital de Venus?

c) ¿Cuánto tiempo necesita Venus para realizar una vuelta completa alrededor del Sol?

Datos: Masa del Sol: M=2⋅1030 kgM = 2\cdot 10^{30}\ \text{kg}; Constante de Gravitación Universal: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}
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Resultado
a) RV=GMV/g0=6,05⋅106 mR_V = \sqrt{GM_V/g_0} = 6{,}05\cdot 10^{6}\ \text{m}; diámetro D≈1,21⋅104 kmD \approx 1{,}21\cdot 10^{4}\ \text{km}.

b) v=GM/r≈3,51⋅104 m/sv = \sqrt{GM/r} \approx 3{,}51\cdot 10^{4}\ \text{m/s}.

c) T=2πr/v≈1,93⋅107 s≈223 dıˊasT = 2\pi r/v \approx 1{,}93\cdot 10^{7}\ \text{s} \approx 223\ \text{días}.
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Estrategia

Hay dos cuerpos centrales distintos y conviene no mezclarlos. En el apartado a) el protagonista es Venus: su gravedad en la superficie, g0=GMV/RV2g_0 = GM_V/R_V^2, con su masa, da su radio. En b) y c) Venus es el «satélite» y el Sol el cuerpo central: la atracción del Sol hace de fuerza centrípeta, de donde sale la velocidad orbital, y con ella el periodo (o, directamente, con la tercera ley de Kepler). La masa de Venus no interviene en b) ni en c).
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Desarrollo

a) Radio de Venus. En la superficie, el peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria de Venus:g0=G MVRV2⟹RV=G MVg0=6,67⋅10−11⋅4,87⋅10248,87=6,05⋅106 mg_0 = \frac{G\,M_V}{R_V^2}\quad\Longrightarrow\quad R_V = \sqrt{\frac{G\,M_V}{g_0}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 4{,}87\cdot 10^{24}}{8{,}87}} = 6{,}05\cdot 10^{6}\ \text{m}Diámetro en km.D=2RV=1,21⋅107 m=1,21⋅104 km  (≈12 100 km)D = 2R_V = 1{,}21\cdot 10^{7}\ \text{m} = 1{,}21\cdot 10^{4}\ \text{km}\ \ (\approx 12\,100\ \text{km})b) Velocidad orbital. Radio de la órbita en el SI: r=108⋅106 km=1,08⋅1011 mr = 108\cdot 10^{6}\ \text{km} = 1{,}08\cdot 10^{11}\ \text{m}. En la órbita circular, la fuerza gravitatoria del Sol es la centrípeta:G M MVr2=MV v2r⟹v=G Mr\frac{G\,M\,M_V}{r^2} = M_V\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}v=6,67⋅10−11⋅2⋅10301,08⋅1011=3,51⋅104 m/s  (35,1 km/s)v = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2\cdot 10^{30}}{1{,}08\cdot 10^{11}}} = 3{,}51\cdot 10^{4}\ \text{m/s}\ \ (35{,}1\ \text{km/s})c) Periodo. En una vuelta Venus recorre la circunferencia 2πr2\pi r con velocidad constante:T=2πrv=2π⋅1,08⋅10113,5145⋅104=1,93⋅107 sT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 1{,}08\cdot 10^{11}}{3{,}5145\cdot 10^{4}} = 1{,}93\cdot 10^{7}\ \text{s}Comprobación con la tercera ley de Kepler. Combinando v=GM/rv = \sqrt{GM/r} con v=2πr/Tv = 2\pi r/T:T=2πr3G M=2π(1,08⋅1011)36,67⋅10−11⋅2⋅1030=1,93⋅107 sT = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M}} = 2\pi\sqrt{\frac{(1{,}08\cdot 10^{11})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2\cdot 10^{30}}} = 1{,}93\cdot 10^{7}\ \text{s}En días.T=1,93⋅10786 400≈223 dıˊas  (≈0,61 an˜os)T = \frac{1{,}93\cdot 10^{7}}{86\,400} \approx 223\ \text{días}\ \ (\approx 0{,}61\ \text{años})El valor real es de unos 225 días: el resultado es razonable con los datos redondeados del enunciado.
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Consejo

Pasa los kilómetros a metros antes de sustituir y fíjate en qué masa va en cada fórmula: la de Venus para su gravedad superficial y la del Sol para la órbita. Mezclarlas es el error más frecuente.

Deduce v=GM/rv = \sqrt{GM/r} igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta en lugar de escribirla de memoria: el razonamiento también puntúa.
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