Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Junio · Opción A

a) Lectura de la ecuación. Comparando con $y = A\operatorname{sen}(\omega t - kx)$:$$A = 2\ \text{m}\qquad \omega = \frac{2\pi}{5}\ \text{rad/s}\qquad k = \frac{\pi}{4}\ \text{rad/m}$$Número de onda y longitud de onda. El número de onda es $k = \dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785\ \text{rad/m}$, y como $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$:$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/4} = 8\ \text{m}$$De paso: $T = 2\pi/\omega = 5\ \text{s}$ y la onda avanza hacia las $x$ positivas (signos opuestos en $t$ y $x$) con $v = \lambda/T = 1{,}6\ \text{m/s}$.

b) Velocidad de vibración. Derivamos respecto de $t$:$$v(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 2\cdot\frac{2\pi}{5}\cos\left(\frac{2\pi}{5}\,t - \frac{\pi}{4}\,x\right) = \frac{4\pi}{5}\cos\left(\frac{2\pi}{5}\,t - \frac{\pi}{4}\,x\right)$$Fase en el punto e instante pedidos. Con $x = 4\ \text{m}$ y $t = 8\ \text{s}$:$$\varphi = \frac{2\pi}{5}\cdot 8 - \frac{\pi}{4}\cdot 4 = \frac{16\pi}{5} - \pi = \frac{11\pi}{5}\ \text{rad}$$Como $\frac{11\pi}{5} = 2\pi + \frac{\pi}{5}$, equivale a $\frac{\pi}{5}$ rad ($36^\circ$).

Sustitución.$$v(4, 8) = \frac{4\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5} = 2{,}513\cdot 0{,}809 = 2{,}03\ \text{m/s}$$El signo positivo indica que en ese instante el punto se mueve hacia las $y$ positivas.

c) Aceleración. Derivamos otra vez respecto de $t$:$$a(x,t) = \frac{\partial v}{\partial t} = -2\left(\frac{2\pi}{5}\right)^2\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi}{5}\,t - \frac{\pi}{4}\,x\right) = -\omega^2\,y$$Sustitución con la misma fase, $\frac{11\pi}{5}$:$$a(4, 8) = -2\cdot\left(\frac{2\pi}{5}\right)^2\operatorname{sen}\frac{\pi}{5} = -3{,}158\cdot 0{,}588 = -1{,}86\ \text{m/s}^2$$El signo menos es coherente con el MAS de cada punto: en ese instante la elongación es positiva ($y = 2\operatorname{sen}\frac{\pi}{5} = 1{,}18\ \text{m}$) y la aceleración apunta hacia la posición de equilibrio.