Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción B

a) Velocidad de propagación. La perturbación recorre $R = 7\ \text{m}$ en $14\ \text{s}$:$$v = \frac{R}{t} = \frac{7}{14} = 0{,}5\ \text{m/s}$$Frecuencia. De $v = \lambda f$:$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{0{,}5}{0{,}50} = 1\ \text{Hz}\qquad (T = 1\ \text{s})$$Número de onda y pulsación.$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\ \text{rad/m}\qquad \omega = 2\pi f = 2\pi\ \text{rad/s}$$Ecuación de onda. Para una onda que avanza en el sentido positivo del eje X (signo menos entre $\omega t$ y $kx$), con fase inicial nula:$$y(x, t) = A\operatorname{sen}(2\pi t - 4\pi x)\quad(x\ \text{en m},\ t\ \text{en s})$$b) Amplitud. En el origen ($x = 0$) y en $t = 0{,}25\ \text{s}$ la elongación es $0{,}04\ \text{m}$:$$0{,}04 = A\operatorname{sen}(2\pi\cdot 0{,}25 - 0) = A\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = A\quad\Longrightarrow\quad A = 0{,}04\ \text{m} = 4\ \text{cm}$$Tiene sentido: $0{,}25\ \text{s}$ es un cuarto de periodo, y en ese instante el foco, que empezó en reposo en el equilibrio, está en su elongación máxima.

La ecuación queda $y(x,t) = 0{,}04\operatorname{sen}(2\pi t - 4\pi x)\ \text{m}$.

c) Elongación en $x = 7\ \text{m}$ y $t = 14\ \text{s}$.$$y(7, 14) = 0{,}04\operatorname{sen}(2\pi\cdot 14 - 4\pi\cdot 7) = 0{,}04\operatorname{sen}(28\pi - 28\pi) = 0$$Es lógico: la perturbación tarda justo 14 s en llegar a la orilla, de modo que en ese instante el frente de onda acaba de alcanzar el punto y este aún está en su posición de equilibrio. Además, 7 m son 14 longitudes de onda, así que ese punto vibra en fase con el foco, que en $t = 14\ \text{s}$ (14 periodos) también está en el equilibrio.