Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción B

Pasamos los datos al SI: $a = 1\ \text{m}$, $q = 2\cdot 10^{-6}\ \text{C}$.

a) Distancias a D. $r_{AD} = r_{BD} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt2 = \sqrt2\ \text{m}$ y $r_{CD} = 2a = 2\ \text{m}$.

Campo de cada carga positiva en D.$$E_A = E_B = K\frac{q}{2a^2} = 9\cdot 10^{9}\,\frac{2\cdot 10^{-6}}{2} = 9\cdot 10^{3}\ \text{N/C}$$El campo de A en D apunta en la dirección de A a D (hacia abajo y a la derecha, a $45^\circ$) y el de B, hacia arriba y a la derecha. Sus componentes:$$\vec E_A = 9\cdot 10^{3}\,(\cos45^\circ\,\vec i - \operatorname{sen}45^\circ\,\vec j) = (6364\,\vec i - 6364\,\vec j)\ \text{N/C}$$$$\vec E_B = 9\cdot 10^{3}\,(\cos45^\circ\,\vec i + \operatorname{sen}45^\circ\,\vec j) = (6364\,\vec i + 6364\,\vec j)\ \text{N/C}$$$$\vec E_A + \vec E_B = 1{,}273\cdot 10^{4}\,\vec i\ \text{N/C}$$Campo de la carga negativa. La carga $q'$ (negativa) atrae: su campo en D apunta hacia C, es decir, hacia $-\vec i$, con módulo $K|q'|/(2a)^2$.

Condición de campo nulo.$$2K\frac{q}{2a^2}\cos45^\circ = K\frac{|q'|}{4a^2}\quad\Longrightarrow\quad |q'| = 2\sqrt2\,q = 2\sqrt2\cdot 2\cdot 10^{-6} = 5{,}66\cdot 10^{-6}\ \text{C}$$Como es negativa, $q' = -5{,}66\cdot 10^{-6}\ \text{C} = -5{,}66\ \mu\text{C}$.

b) Potencial en D. Con las distancias de antes:$$V_D = K\left(\frac{q}{a\sqrt2} + \frac{q}{a\sqrt2} + \frac{q'}{2a}\right) = \frac{K}{a}\left(\sqrt2\,q - \frac{2\sqrt2\,q}{2}\right) = 0$$Numéricamente: $12\,728 + 12\,728 - 25\,456 = 0\ \text{V}$. El potencial en D es exactamente nulo.

Potencial en O. Las tres cargas están a distancia $a = 1\ \text{m}$ del origen:$$V_O = K\,\frac{q + q + q'}{a} = 9\cdot 10^{9}\,\frac{2\cdot 10^{-6} + 2\cdot 10^{-6} - 5{,}66\cdot 10^{-6}}{1} = -1{,}49\cdot 10^{4}\ \text{V}$$c) Trabajo del campo. El trabajo que hace la fuerza eléctrica al llevar $Q$ de D a O es$$W_{\text{campo}} = Q\,(V_D - V_O) = 2\cdot 10^{-9}\,\bigl(0 - (-1{,}49\cdot 10^{4})\bigr) = 2{,}98\cdot 10^{-5}\ \text{J}$$Trabajo de la fuerza exterior. Si el traslado se hace sin cambiar la energía cinética, la fuerza exterior hace el trabajo opuesto:$$W_{\text{ext}} = Q\,(V_O - V_D) = -2{,}98\cdot 10^{-5}\ \text{J}$$Interpretación. La carga positiva va de un punto de potencial $0$ a otro de potencial negativo, es decir, hacia potenciales menores: lo hace espontáneamente, el campo realiza un trabajo positivo y no hace falta ningún trabajo exterior (el que haría un agente externo para llevarla despacio es negativo, frenándola).

(La solución oficial toma $\cos45^\circ \cdot 9\cdot10^{3} = 6390$ en vez de $6364$, por lo que da $q' = -5{,}68\ \mu\text{C}$ y $V_O = -1{,}5\cdot 10^{4}\ \text{V}$, y da como «trabajo necesario» $3\cdot 10^{-5}\ \text{J}$, que es el del campo.)