Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción B

Campos de fuerzas conservativos y no conservativos. Una fuerza (o un campo de fuerzas) es conservativa si el trabajo que realiza al mover un cuerpo entre dos puntos depende solo de las posiciones inicial y final, no del camino seguido. Equivalentemente, el trabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo:$$\oint \vec F\cdot d\vec r = 0$$Son conservativas la fuerza gravitatoria, la eléctrica y la elástica de un muelle; las fuerzas centrales que dependen solo de la distancia lo son siempre. Son no conservativas el rozamiento o la resistencia del aire: su trabajo depende del camino (más largo, más trabajo disipado) y en un ciclo cerrado no es nulo.

Energía potencial. Solo para una fuerza conservativa se puede definir una función de la posición, la energía potencial $E_p$, tal que el trabajo del campo es igual a menos su variación:$$W_{A\to B} = -\Delta E_p = E_p(A) - E_p(B)$$Energía potencial gravitatoria. Una masa $M$ atrae a otra $m$ con la fuerza $\vec F = -\dfrac{GMm}{r^2}\,\vec u_r$. El trabajo que hace al llevar $m$ de $r_A$ a $r_B$:$$W_{A\to B} = \int_{r_A}^{r_B} -\frac{GMm}{r^2}\,dr = GMm\left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}\right) = -\left(-\frac{GMm}{r_B}\right) + \left(-\frac{GMm}{r_A}\right)$$Tomando el origen de energía potencial en el infinito ($E_p = 0$ cuando $r\to\infty$):$$E_p(r) = -\frac{GMm}{r}$$Es negativa en todas partes y aumenta (se acerca a cero) al alejarse: hay que hacer trabajo exterior para separar las masas. Representa el trabajo que hace el campo al traer $m$ desde el infinito hasta $r$, cambiado de signo. Cerca de la superficie terrestre se reduce a la conocida $\Delta E_p = mgh$.

Potencial gravitatorio de una masa puntual o esférica. Es la energía potencial por unidad de masa colocada en el punto, una propiedad del campo en sí:$$V(r) = \frac{E_p}{m} = -\frac{GM}{r}\qquad (\text{J/kg})$$Para una masa con simetría esférica (un planeta), fuera de ella el potencial es el mismo que si toda la masa estuviera en su centro. Las superficies equipotenciales son esferas concéntricas, perpendiculares a las líneas de campo, y el campo apunta hacia donde el potencial disminuye: $\vec g = -\dfrac{dV}{dr}\,\vec u_r$. El trabajo del campo al mover $m$ entre dos puntos es $W_{A\to B} = m(V_A - V_B)$.

Energía mecánica total. Es la suma de la energía cinética y la potencial:$$E_m = E_c + E_p = \frac12 m v^2 - \frac{GMm}{r}$$Su signo dice si el cuerpo está ligado: con $E_m < 0$ no puede escapar del campo (órbitas cerradas, lanzamientos que vuelven); con $E_m \ge 0$ llega al infinito. De $E_m = 0$ sale la velocidad de escape, $v_e = \sqrt{2GM/r}$.

Principio de conservación de la energía. Por el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo de todas las fuerzas es igual a la variación de energía cinética: $W_{\text{total}} = \Delta E_c$. Si separamos las conservativas, $W_c = -\Delta E_p$, y queda$$W_{nc} = \Delta E_c + \Delta E_p = \Delta E_m$$Si solo actúan fuerzas conservativas ($W_{nc} = 0$), la energía mecánica se conserva:$$\frac12 m v_A^2 - \frac{GMm}{r_A} = \frac12 m v_B^2 - \frac{GMm}{r_B}$$Ejemplo: un satélite en órbita elíptica va más rápido en el perigeo que en el apogeo, porque allí su energía potencial es menor. Si hay rozamiento (un satélite en la alta atmósfera), $W_{nc} < 0$, la energía mecánica disminuye y la energía perdida se transforma en calor: la energía total se conserva siempre, aunque la mecánica no.