Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción A

a) Gravedad en función de la distancia. En la superficie y a una distancia $r$ del centro:$$g_0 = \frac{GM}{R^2}\qquad g(r) = \frac{GM}{r^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{g(r)}{g_0} = \frac{R^2}{r^2}\quad\Longrightarrow\quad r = R\sqrt{\frac{g_0}{g(r)}}$$Punto A. Con $g_A = g_0/3$:$$r_A = \sqrt3\,R = \sqrt3\cdot 6{,}37\cdot 10^{6} = 1{,}10\cdot 10^{7}\ \text{m}$$Punto B. Con $g_B = g_0/5$:$$r_B = \sqrt5\,R = \sqrt5\cdot 6{,}37\cdot 10^{6} = 1{,}42\cdot 10^{7}\ \text{m}$$b) Conservación de la energía entre A y B. El objeto sale de A con $v_A$ y, si es la mínima, llega a B con $v_B = 0$:$$\frac12 m v_A^2 - \frac{GMm}{r_A} = -\frac{GMm}{r_B}\quad\Longrightarrow\quad v_A = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right)}$$Sustitución con $GM = g_0R^2$. Como $r_A = \sqrt3R$ y $r_B = \sqrt5R$:$$v_A = \sqrt{2g_0R\left(\frac{1}{\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt5}\right)} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 6{,}37\cdot 10^{6}\cdot(0{,}5774-0{,}4472)} = 4{,}03\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$c) Velocidad de escape desde A. Para llegar al infinito con la mínima velocidad, la energía mecánica en A tiene que ser cero:$$\frac12 m v_{e}^2 - \frac{GMm}{r_A} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r_A}} = \sqrt{\frac{2g_0R}{\sqrt3}}$$$$v_e = \sqrt{\frac{2\cdot 9{,}8\cdot 6{,}37\cdot 10^{6}}{1{,}732}} = 8{,}49\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$Velocidad al pasar por B. La energía mecánica sigue siendo cero durante todo el viaje, así que en B:$$\frac12 m v_B^2 - \frac{GMm}{r_B} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_B = \sqrt{\frac{2GM}{r_B}} = \sqrt{\frac{2g_0R}{\sqrt5}} = \sqrt{\frac{2\cdot 9{,}8\cdot 6{,}37\cdot 10^{6}}{2{,}236}} = 7{,}47\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$Es justo la velocidad de escape desde B. Comprobación: $v_B^2 = v_e^2 - v_A^2$ del apartado b), $\sqrt{8490^2-4031^2} = 7472\ \text{m/s}$.

(La solución oficial da $4036$, $8503$ y $7484\ \text{m/s}$ porque redondea las distancias a $11\cdot 10^{6}$ y $14{,}2\cdot 10^{6}\ \text{m}$ antes de sustituir; con los valores sin redondear salen las cifras de arriba.)