Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción A

Definición. Una onda estacionaria es el resultado de la interferencia de dos ondas armónicas de igual amplitud, frecuencia y longitud de onda que se propagan en la misma dirección y en sentidos opuestos. Lo habitual es que una sea la onda incidente y la otra la reflejada en un extremo (el de una cuerda, el fondo de un tubo). El resultado no parece avanzar: cada punto vibra en su sitio con una amplitud propia.

Ecuación. Si se superponen$$y_1 = A\operatorname{sen}(\omega t - kx)\qquad y_2 = A\operatorname{sen}(\omega t + kx)$$aplicando $\operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:$$y = y_1 + y_2 = 2A\cos(kx)\,\operatorname{sen}(\omega t)$$Cada punto describe un MAS de frecuencia $\omega$ y amplitud $A_r(x) = 2A\cos(kx)$, que depende de su posición.

Nodos y vientres.

• Nodos: puntos que no vibran nunca, $\cos(kx) = 0$, es decir, $x = (2n+1)\dfrac{\lambda}{4}$.
• Vientres (antinodos): puntos de amplitud máxima $2A$, $\cos(kx) = \pm1$, es decir, $x = n\dfrac{\lambda}{2}$.
• Dos nodos (o dos vientres) consecutivos están separados $\lambda/2$; entre un nodo y el vientre siguiente hay $\lambda/4$.

Diferencias con una onda viajera. En una onda estacionaria la amplitud depende de la posición, todos los puntos entre dos nodos vibran en fase (y en oposición de fase con los del tramo siguiente) y no hay transporte neto de energía: la energía queda confinada entre los nodos, porque los nodos no se mueven y no pueden transmitirla.

Cuerda fija por los dos extremos. Los extremos tienen que ser nodos, así que en la longitud $L$ cabe un número entero de medias longitudes de onda:$$L = n\,\frac{\lambda_n}{2}\quad\Longrightarrow\quad \lambda_n = \frac{2L}{n},\qquad f_n = n\,\frac{v}{2L}\qquad (n = 1, 2, 3\ldots)$$Solo son posibles esas frecuencias (cuantización): $f_1$ es la frecuencia fundamental o primer armónico y las demás son sus múltiplos (armónicos). En un tubo abierto por los dos extremos se cumple la misma relación (con vientres en los extremos); en uno cerrado por un extremo solo aparecen los armónicos impares, $f_n = n\dfrac{v}{4L}$ con $n$ impar.

Ejemplos.

• Las cuerdas de una guitarra, un violín o un piano: al pulsarlas vibran en su modo fundamental y sus armónicos; al pisar un traste se acorta $L$ y sube la frecuencia.
• Los instrumentos de viento (flauta, órgano, clarinete): ondas estacionarias de presión en la columna de aire de un tubo.
• La experiencia de Melde: una cuerda tensa unida a un vibrador muestra husos fijos (los tramos entre nodos).
• Las microondas dentro de un horno, que forman zonas de máximo y mínimo calentamiento (por eso el plato gira), y la luz en la cavidad de un láser.