FísicaMedioCuestión · 2 pts

Problema resuelto de Física: Campo magnético creado por corrientesSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

Campos magnéticos producidos por corrientes. Ley de Biot-Savart en los siguientes casos:

a) corriente recta e infinita;

b) corriente circular (espira).

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Resultado

Ley de Biot-Savart:

d\vec B = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\,d\vec l\times\vec u_r}{r^2}

.

a) Hilo recto e indefinido:

B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}

, líneas circulares concéntricas con el hilo, sentido por la regla de la mano derecha.

b) Espira: en el centro

B = \dfrac{\mu_0 I}{2R}

, perpendicular al plano de la espira; se comporta como un pequeño imán.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una cuestión de teoría. Hay que empezar por la idea (las cargas en movimiento crean campo magnético, experiencia de Oersted), escribir la ley de Biot-Savart con el significado de cada símbolo y aplicarla a los dos casos: el módulo del campo, su dirección y sentido (regla de la mano derecha) y cómo son las líneas de campo. Un esquema descrito con claridad suma.

Desarrollo

Campos magnéticos creados por corrientes. En 1820 Oersted observó que una brújula colocada cerca de un hilo se desvía cuando por el hilo pasa corriente: las corrientes eléctricas (cargas en movimiento) crean campos magnéticos. Las líneas de este campo son siempre cerradas, no tienen principio ni fin, porque no existen cargas magnéticas aisladas.

Ley de Biot-Savart. Un elemento de corriente

I\,d\vec l

crea, en un punto P situado a una distancia

r

y en la dirección del vector unitario

\vec u_r

(del elemento hacia P), el campo

d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\vec u_r}{r^2}

donde

\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}

es la permeabilidad magnética del vacío. El campo de todo el conductor es la suma (integral) de las contribuciones de todos sus elementos. De la ley se deduce que:

$d\vec B$ es perpendicular a la vez a la corriente y a la recta que une el elemento con P (lo dice el producto vectorial);
su módulo, $dB = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\,dl\,\operatorname{sen}\theta}{r^2}$ , es proporcional a la intensidad y disminuye con el cuadrado de la distancia;
es nulo en la propia dirección de la corriente ( $\theta = 0$ ).

En el SI el campo magnético se mide en teslas (T).

a) Corriente rectilínea e indefinida. Integrando la ley de Biot-Savart a lo largo de todo el hilo, el campo a una distancia

d

del hilo vale

B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d}

Módulo: proporcional a $I$ e inversamente proporcional a la distancia al hilo (no al cuadrado).
Dirección: tangente a circunferencias concéntricas con el hilo, contenidas en planos perpendiculares a él. Las líneas de campo son esas circunferencias.
Sentido: regla de la mano derecha: si el pulgar señala el sentido de la corriente, los demás dedos se cierran en el sentido de $\vec B$ .

Esquema: un hilo vertical con la corriente hacia arriba, varias circunferencias horizontales centradas en él y, en un punto de una de ellas, el vector

\vec B

tangente, girando en sentido antihorario visto desde arriba.

Ejemplo: un hilo con

I = 10\ \text{A}

crea a

5\ \text{cm}

un campo

B = \dfrac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 10}{2\pi\cdot 0{,}05} = 4\cdot 10^{-5}\ \text{T}

, del orden del campo magnético terrestre.

b) Corriente circular (espira). En una espira de radio

R

cada elemento

d\vec l

es perpendicular al vector que lo une con el centro, y todos los

d\vec B

en el centro tienen la misma dirección: perpendicular al plano de la espira. Sumando,

B = \int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,dl}{R^2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi R^2}\,2\pi R \quad\Longrightarrow\quad B_{\text{centro}} = \frac{\mu_0\,I}{2R}

Dirección: perpendicular al plano de la espira (sobre su eje).
Sentido: regla de la mano derecha: si los dedos se cierran en el sentido de la corriente, el pulgar señala $\vec B$ . Si la corriente gira en sentido antihorario visto desde arriba, el campo en el centro apunta hacia arriba.
Líneas de campo: salen por una cara de la espira y entran por la otra, como en un imán pequeño: la espira se comporta como un dipolo magnético con una cara norte (por donde salen las líneas) y una cara sur.

Con

N

espiras iguales juntas (una bobina plana), el campo en el centro es

N

veces mayor:

B = \dfrac{\mu_0 N I}{2R}

Consejo

En las cuestiones de campo magnético, el módulo solo no basta: di siempre la dirección y el sentido con la regla de la mano derecha y describe cómo son las líneas de campo. No confundas el $1/d$ del hilo con el $1/r^2$ de una carga puntual: es un error muy frecuente.