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Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio (coincidentes) · Opción B

Enunciado

Un plátano contiene un promedio de

600\,\text{mg}

de potasio. El contenido medio del isótopo radiactivo

^{40}\text{K}

en una muestra de potasio es de un

0{,}012\,\%

en masa. El periodo de semidesintegración del

^{40}\text{K}

es de

1{,}28\cdot 10^{9}

años.

a) Determine la constante de desintegración y el tiempo de vida media del

^{40}\text{K}

.

b) Calcule la actividad media de un plátano. ¿Cuál sería el umbral mínimo de detección de un detector de radiactividad de un aeropuerto, en becquerelios (Bq), para que suene la alarma al pasar

10

plátanos?

Datos: Masa atómica del

^{40}\text{K}

M = 39{,}96\,\text{u}

; Número de Avogadro,

N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\,\text{mol}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lambda = 5{,}42\cdot 10^{-10}\ \text{años}^{-1} = 1{,}72\cdot 10^{-17}\ \text{s}^{-1}\qquad \tau = 1{,}85\cdot 10^{9}\ \text{años}\;}

\boxed{\;A = 18{,}6\ \text{Bq}\qquad A_{\text{umbral}} \le 186\ \text{Bq}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La constante de desintegración sale del periodo de semidesintegración,

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

, y la vida media es su inversa,

\tau = 1/\lambda

.

En b) la actividad es

A = \lambda N

. Hay que contar los núcleos de

^{40}\text{K}

de un plátano (masa de potasio por el porcentaje del isótopo, a moles y a núcleos) y usar

\lambda

\text{s}^{-1}

para que salga en becquerelios. El detector suena con 10 plátanos si su umbral no supera la actividad de los 10 juntos.

Desarrollo

a) Constante de desintegración:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{1{,}28\cdot 10^{9}} = 5{,}42\cdot 10^{-10}\ \text{años}^{-1}

En el SI (con

1\,\text{año} = 365\,\text{días} = 3{,}15\cdot 10^{7}\,\text{s}

\lambda = \frac{5{,}42\cdot 10^{-10}}{365\cdot 86\,400} = 1{,}72\cdot 10^{-17}\ \text{s}^{-1}

Vida media:

\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{5{,}42\cdot 10^{-10}} = 1{,}85\cdot 10^{9}\ \text{años}

b) Masa de

^{40}\text{K}

en un plátano:

m = 0{,}600\ \text{g}\cdot\frac{0{,}012}{100} = 7{,}2\cdot 10^{-5}\ \text{g}

Número de núcleos:

N = \frac{7{,}2\cdot 10^{-5}}{39{,}96}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 1{,}08\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}

Actividad media de un plátano:

A = \lambda\,N = 1{,}72\cdot 10^{-17}\cdot 1{,}08\cdot 10^{18} = 18{,}6\ \text{Bq}

Con 10 plátanos la actividad es diez veces mayor,

A_{10} = 186\,\text{Bq}

. Para que la alarma suene, el detector tiene que detectar esa actividad: su umbral debe ser como mucho de unos

186\,\text{Bq}

.

Como el periodo es de miles de millones de años, la actividad prácticamente no cambia mientras el plátano existe.

Consejo

El becquerelio es una desintegración por segundo: pasa $\lambda$ a $\text{s}^{-1}$ antes de multiplicar por $N$ .

Ve con calma con los porcentajes: primero la masa de potasio, luego la del isótopo, luego moles y núcleos. Cada paso, con sus unidades.