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Inducción electromagnética

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio (coincidentes) · Opción B

Enunciado

Una bobina circular está formada por un hilo conductor de

25\,\text{cm}

de longitud que se enrolla en

5

vueltas, y cuya resistencia total es de

10\,\Omega

. La bobina está situada en el plano

xy

con su centro en el origen de coordenadas cartesiano. En la región hay un campo magnético variable en el tiempo

\vec B = \text{sen}(\pi t)\,\vec i + \cos(\pi t)\,\vec k\ \text{mT}

. Calcule en el instante

t = 0{,}25\,\text{s}

:

a) El flujo magnético a través de la bobina.

b) La fuerza electromotriz y la corriente eléctrica inducidas en la bobina.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\Phi(0{,}25\ \text{s}) = 7{,}03\cdot 10^{-7}\ \text{Wb}\;}

\boxed{\;\varepsilon(0{,}25\ \text{s}) = 2{,}21\cdot 10^{-6}\ \text{V}\qquad I = 2{,}21\cdot 10^{-7}\ \text{A}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero la geometría:

25\,\text{cm}

de hilo en 5 vueltas son

5\,\text{cm}

por vuelta, la circunferencia de cada espira; de ahí salen el radio y el área.

La bobina está en el plano

xy

, así que su vector superficie es

\vec S = S\,\vec k

. Solo la componente

z

del campo atraviesa la bobina; la componente

x

es paralela a su plano y no aporta flujo. El flujo total es el de las 5 espiras,

\Phi = N\,B_z\,S

, y la ley de Faraday da la f.e.m. derivándolo.

Desarrollo

a) Cada espira tiene una longitud

L = 25/5 = 5\,\text{cm} = 0{,}05\,\text{m}

r = \frac{L}{2\pi} = \frac{0{,}05}{2\pi} = 7{,}96\cdot 10^{-3}\ \text{m}\qquad S = \pi r^2 = \frac{L^2}{4\pi} = 1{,}99\cdot 10^{-4}\ \text{m}^2

Con

\vec S = S\,\vec k

, el flujo a través de las

N = 5

espiras es

\Phi(t) = N\,\vec B\cdot\vec S = N\,B_z\,S = 5\cdot 10^{-3}\cos(\pi t)\cdot 1{,}99\cdot 10^{-4} = 9{,}95\cdot 10^{-7}\cos(\pi t)\ \text{Wb}

t = 0{,}25\,\text{s}

\cos(\pi/4) = \sqrt 2/2

\Phi(0{,}25) = 9{,}95\cdot 10^{-7}\cdot 0{,}707 = 7{,}03\cdot 10^{-7}\ \text{Wb}

(por cada espira,

1{,}41\cdot 10^{-7}\,\text{Wb}

).

b) Ley de Faraday:

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = 9{,}95\cdot 10^{-7}\,\pi\,\text{sen}(\pi t)\ \text{V}

t = 0{,}25\,\text{s}

\varepsilon(0{,}25) = 9{,}95\cdot 10^{-7}\cdot\pi\cdot 0{,}707 = 2{,}21\cdot 10^{-6}\ \text{V}

Corriente inducida:

I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{2{,}21\cdot 10^{-6}}{10} = 2{,}21\cdot 10^{-7}\ \text{A}

Como en ese instante el flujo a través de la bobina disminuye, la corriente inducida circula de modo que su propio campo refuerza el de

+\vec k

(ley de Lenz): en sentido antihorario visto desde

+z

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El flujo solo lo aporta la componente del campo perpendicular al plano de la espira. Escribe $\vec S$ como vector y haz el producto escalar: la componente paralela desaparece sola.

No olvides el factor $N$ : el flujo que entra en la ley de Faraday es el de todas las espiras. Y pasa los militeslas a teslas.