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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio (coincidentes) · Opción B

Enunciado

Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda tensa en el sentido negativo del eje

x

. En un cierto instante, que se considera el origen de tiempos

t = 0

, la elongación puede escribirse de la forma

z(x,0) = 3\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\,x + \pi\right)

, expresada en unidades del sistema internacional. Si la velocidad de propagación de la onda es de

40\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

, determine:

a) La expresión matemática de la onda.

b) Los valores de la velocidad y aceleración del punto de la cuerda situado en

x = 4\,\text{m}

en el instante

t = 0{,}5\,\text{s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;z(x,t) = 3\cos\left(\frac{\pi}{2}\,x + 20\pi\,t + \pi\right)\ \text{m}\;}

\boxed{\;v_z(4\ \text{m};\ 0{,}5\ \text{s}) = 0\qquad a_z(4\ \text{m};\ 0{,}5\ \text{s}) = 1200\pi^2 = 1{,}18\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La «foto» en

t = 0

da la amplitud (

3\,\text{m}

), el número de onda (

k = \pi/2\,\text{rad/m}

) y la fase inicial (

\pi

). Con la velocidad de propagación sale

\omega = kv

.

Como avanza hacia

-x

, la onda es una función de

x + vt

: en la fase,

kx

\omega t

van con el mismo signo. Así, en

t = 0

vuelve a dar la expresión del enunciado.

En b) derivamos una y dos veces respecto del tiempo para tener la velocidad y la aceleración de oscilación del punto.

Desarrollo

a) Magnitudes de la onda:

k = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}\ \Rightarrow\ \lambda = \frac{2\pi}{k} = 4\ \text{m}\qquad \omega = k\,v = \frac{\pi}{2}\cdot 40 = 20\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}\ \Rightarrow\ T = 0{,}1\ \text{s}

Propagándose hacia

-x

y con

z(x,0) = 3\cos\left(\frac{\pi}{2}x + \pi\right)

z(x,t) = 3\cos\left(\frac{\pi}{2}\,x + 20\pi\,t + \pi\right)\ \text{m}\qquad(x\ \text{en m},\ t\ \text{en s})

b) Velocidad y aceleración de oscilación:

v_z = \frac{\partial z}{\partial t} = -60\pi\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\,x + 20\pi\,t + \pi\right)\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

a_z = \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} = -1200\pi^2\cos\left(\frac{\pi}{2}\,x + 20\pi\,t + \pi\right)\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

x = 4\,\text{m}

t = 0{,}5\,\text{s}

la fase vale

\varphi = \frac{\pi}{2}\cdot 4 + 20\pi\cdot 0{,}5 + \pi = 2\pi + 10\pi + \pi = 13\pi\ \text{rad}

con

\text{sen}\,13\pi = 0

\cos 13\pi = -1

v_z = 0\qquad a_z = -1200\pi^2\cdot(-1) = 1200\pi^2 = 1{,}18\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

El punto está en su elongación mínima,

z = -3\,\text{m}

: parado un instante y con la aceleración máxima, dirigida hacia el equilibrio (hacia

+z

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Hacia $-x$ , mismo signo para $kx$ y $\omega t$ ; hacia $+x$ , signos opuestos. Comprueba que en $t = 0$ tu ecuación da la del enunciado.

Antes de evaluar senos y cosenos, reduce la fase: $13\pi$ es lo mismo que $\pi$ . En un extremo la velocidad es cero y la aceleración, máxima.