FísicaFácil2 pts

Núcleo atómico y reacciones nucleares

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio (coincidentes) · Opción A

Enunciado

Un electrón es acelerado hasta que su masa es

2

veces su masa en reposo. Determine:

a) La energía cinética alcanzada por el electrón.

b) La velocidad a la que ha sido acelerado.

Datos: Masa en reposo del electrón,

m_e = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}

; Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;E_c = m_0\,c^2 = 8{,}20\cdot 10^{-14}\ \text{J}\;}

\boxed{\;v = \frac{\sqrt 3}{2}\,c = 2{,}60\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En relatividad especial la masa de una partícula en movimiento es

m = \gamma\,m_0

, con

\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}

. Que la masa se duplique significa

\gamma = 2

.

En a) la energía cinética es la energía total menos la de reposo:

E_c = mc^2 - m_0c^2 = (\gamma - 1)\,m_0c^2

. Con

\gamma = 2

coincide con la energía en reposo. En b) se despeja

v

\gamma = 2

Desarrollo

a) Con

m = 2m_0

E_c = m\,c^2 - m_0\,c^2 = (2m_0 - m_0)\,c^2 = m_0\,c^2

E_c = 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot\left(3\cdot 10^{8}\right)^2 = 8{,}20\cdot 10^{-14}\ \text{J}

Unos

0{,}51\,\text{MeV}

, la energía en reposo del electrón.

b) Del factor de Lorentz:

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = 2\quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4}\quad\Longrightarrow\quad v = c\,\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt 3}{2}\,c

v = 0{,}866\cdot 3\cdot 10^{8} = 2{,}60\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

86{,}6\,\%

de la velocidad de la luz. Con la fórmula clásica,

\tfrac12 m_0v^2 = m_0c^2

daría

v = \sqrt 2\,c

, mayor que

c

: a estas energías la mecánica de Newton ya no vale.

Consejo

La energía cinética relativista no es $\tfrac12 mv^2$ : es $(\gamma - 1)\,m_0c^2$ . Si al usar la clásica te sale una velocidad mayor que $c$ , es la señal de que te has equivocado de fórmula.

«La masa es $n$ veces la de reposo» es lo mismo que $\gamma = n$ .